Ошибка у Бурбаки в книге Теория множеств

[ghetto]

Sashamandra в сообщении #894245 писал(а):

Операция $ \cup $ является первичной операцией, существование которой обеспечивают аксиомы теории множеств. В противоположность этому операция $ \cap $ вводится в теорию по определению.

$$\mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i} = \{ x \in \mathop \cup \limits_{i \in I} {X_i}|(\forall i \in I)x \in {X_i}\} $$

Естественно, что это определение пересечения отличается от определения Бурбаки в случае $I = \emptyset $.

Я немного сумлеваюсь. Не могли бы вы привести пример?

[Sashamandra]

ghetto в сообщении #894508 писал(а):

Не могли бы вы привести пример?

Пример чего?

-- Сб авг 09, 2014 04:32:32 --

Red_Herring
В дополнение к моему предыдушем к вам сообщению:

Когда же мы переходим от теории множеств к топологии и геометрии, естественно ожидать, что определение Бурбаки получит существенное преимущество.

[ghetto]

Sashamandra в сообщении #894509 писал(а):

ghetto в сообщении #894508 писал(а):

Не могли бы вы привести пример?

Пример чего?

Вы дали определение пересечения $n$ множеств, где $n > 2$ . Мне было бы интересно посмотреть на пример этого определения.

[Sashamandra]

ghetto в сообщении #894510 писал(а):

Вы дали определение пересечения $n$ множеств, где $n > 2$

Вы меня с кем-то путаете. Я этого не делал.

А тот человек, которого вы имеете в виду, уже дал пример этого определения. Оно само является примером самого себя.

[ghetto]

$\mathop \cap \limits_{i \in I} {X_i} $ означает $X_1 \cap X_2 \cap X_3 \ldots$ Вы согласны?

[Sashamandra]

ghetto

ghetto в сообщении #894513 писал(а):

Вы согласны?

Нет.

[Aritaborian]

А что в таком случае оно означает?

[Sashamandra]

Aritaborian в сообщении #894515 писал(а):

А что в таком случае оно означает?

Приведенное мной определение пересечения семейства множеств? Вы не понимаете языка теории множеств?

В частном случае, когда $I = \{ 1,2,3,4,5\} $, оно означает $\[{X_1} \cap {X_2} \cap {X_3} \cap {X_4} \cap {X_5}\]$.

Если вам на самом деле интересно, что определение означает в общем случае, то не поленитесь познакомиться с теорией множеств.

[Aritaborian]

И почему в таком случае вы не согласны с ghetto

[Sashamandra]

Aritaborian в сообщении #894517 писал(а):

И почему в таком случае вы не согласны с ghetto

Потому что в общем случае $I \ne \{ 1,2,3,4,5\} $.

[Nemiroff]

Sashamandra в сообщении #894509 писал(а):

Когда же мы переходим от теории множеств к топологии и геометрии, естественно ожидать, что определение Бурбаки получит существенное преимущество.

Во многих случаях неудобно считать, что $\cap\varnothing=\varnothing$. С другой стороны, вы явно избегаете некорректности и аналога парадокса Рассела. Можно не вводить определение пересечения для множеств, если явно не указано объемлющее множество.

[Aritaborian]

Sashamandra в сообщении #894518 писал(а):

Потому что в общем случае $I \ne \{ 1,2,3,4,5\} $.

Издеваетесь, что ли...

[Sashamandra]

Aritaborian в сообщении #894520 писал(а):

Издеваетесь, что ли...

Каков вопрос, таков ответ. Вы спросили, я ответил на ваш вопрос. Чем он вас не устраивает? Задавайте правильные вопросы.

Позвольте и мне задать вам вопрос. Вы согласны, что $x = 5$?

[Red_Herring]

Sashamandra в сообщении #894509 писал(а):

Когда же мы переходим от теории множеств к топологии и геометрии, естественно ожидать, что определение Бурбаки получит существенное преимущество.

Я не совсем понимаю, что это значит. На самом деле влияние двустороннее: более фундаментальные области математики не только влияют на ее верхние этажи, но и в свою очередь строятся так чтобы удовлетворять их потребностям. И здесь аналогия ясная: всегда объединение множеств не меньше их пересечения, за исключением случая когда этих множеств пустое множество. И почти всегда супремум не меньше инфинума, за исключением случая когда речь идет о пустом множестве.

[Sashamandra]

Red_Herring в сообщении #894523 писал(а):

Я не совсем понимаю, что это значит.

Вы меня не поняли. Когда мы переходим к топологии или геометрии, мы имеем дело с топологическим или геометрическим пространством E. В этом случае будет естественным определить пересечение семейства подмножеств или областей пространства на основании имеющегося пространства E, то есть согласно Бурбаки.