стержень на кривой

[Oleg Zubelevich]

На плоскости нарисована кривая, в стандартной декартовой системе координат уравнение этой кривой имеет вид $y=ax(x^2-b^2)$, константы $a,b$ положительны. Имеется жесткий стержень длины $l$, оба конца которого скользят по кривой без трения.
Можно ли протащить стержень вдоль всей кривой или он обязательно где-нибудь упрется?

[Munin]

Можно, если концам разрешено совершать попятные движения :-)

[gris]

А что если рассмотреть функцию расстояния между двумя точками кривой и попробовать найти там строгий локальный экстремум?
Посмотреть на линии уровня (соответствующие длине стержня).

[Munin]

Можно заметить, что даже если такой локальный экстремум и есть, он означает ситуацию, что стержень, произвольно "надетый" на кривую, может упереться. Но если мы тащим стержень из бесконечности, мы точно так же уйдём в бесконечность, просто не заходя в этот локальный экстремум!

-- 08.08.2014 20:55:03 --

Поясняющий рисунок:



Хотя и существует локальный экстремум, внутри "петельки", движение происходит по линии уровня, обозначенной стрелкой, и в локальный экстремум не заходит.

Результат, видимо, обобщается на все достаточно гладкие кривые, кривизна которых асимптотически исчезает. Например, на полную спираль Архимеда.

[gris]

Вы хотите сказать, что для любого $l$ существует линия уровня, непрерывно проходящая из минус в плюс бесконечность? А замкнутые линии уровня (точки) соответствуют ситуациям, когда стержень "вставлен" в некое положение и не может выйти из некоторой его окрестности? Интересно, это для всех гладких кривых, хороших вдалеке для любого $l$?

-- Пт авг 08, 2014 20:58:27 --

Ага! Я, наверное, Вашу мысль поймал телепатически

[Munin]

Извините за корявый рисунок, но быстро получилось только такое.

[Утундрий]

Munin в сообщении #894386 писал(а):

...даже если такой локальный экстремум и есть, он означает ситуацию, что стержень, произвольно "надетый" на кривую, может упереться. Но если мы тащим стержень из бесконечности, мы точно так же уйдём в бесконечность, просто не заходя в этот локальный экстремум!

Ничего не понял. Чем "произвольно надетый" стержень отличается от просто надетого?

[gris]

"просто надетый" — надетый на практически прямом участке по всей длине стержня. А вот, например, если в $\Omega$-образной кривой положить короткий стержень на два ушка, то далеко его сдвинуть не удастся.
Кстати, на бесконечностях для хороших кривых линии уровня будут приближаться к наклонным асимптотам, параллельным биссектрисе, и располагаться мне полосы между ними, так как расстояние между точками вдоль кривой не меньше расстояния в обычном смысле.

[Munin]

Я различаю:
1) "произвольно надетый" стержень;
2) "притащенный с бесконечности" стержень.

1-е - это когда произвольно выбирают точку на кривой, из всех других точек $\rho(x_1,x_2)=\rho_0$ выбирают произвольно вторую точку на прямой.
2-е - это когда эту процедуру проделывают где-то бесконечно далеко в плюс или в минус, а потом "притаскивают" стержень.

-- 08.08.2014 23:54:32 --

Кстати, про спираль Архимеда я, кажется, соврал. Там даже на бесконечности у стержня (достаточно длинного) может быть несколько положений, отвечающих фиксированному одному концу, больше двух. Похоже, у спирали Архимеда та картинка, о которой идёт речь, глобально (и асимптотически на бесконечности) устроена довольно нетривиально.

[gris]

Мне кажется, что Вы тогда хотели сказать о логарифмической спирали, у которой шаг между витками растёт, и для заданной длины стержня существует интервал, вне которого существует только одна линия уровня (плюс симметричная).
Но для любой кривой, особенно типа спирали, обсуждаемая функция где-то наверху может иметь кучу седел, максимумов и минимумов. То есть некоторые линии уровня могут быть очень запутанными, многосвязными и самопересекающимися.

(Оффтоп)

Вот случай, когда я отказался от буквы "ё", написав "много седел", так как не знаю, как правильно: седёл или сёдел .

[Munin]

gris в сообщении #894471 писал(а):

Мне кажется, что Вы тогда хотели сказать о логарифмической спирали

Ну, для логарифмической не существует продолжения в обе стороны, так что не годится. Мне нужна была именно Архимеда, или что-то на неё похожее.

gris в сообщении #894471 писал(а):

Но для любой кривой, особенно типа спирали, обсуждаемая функция где-то наверху может иметь кучу седел, максимумов и минимумов. То есть некоторые линии уровня могут быть очень запутанными, многосвязными и самопересекающимися.

Но если они асимптотически (влево вниз и вправо вверх) упрощаются (до монотонных), то все эти запутанности не мешают пройти.

(Оффтоп)

"сёдел" для меня наиболее естественно.

[Утундрий]

По-моему, стоит сосредоточиться на конкретной заданной функции, коль с общим случаем такие напряги.

[gris]

Да нет тут напрягов, просто нет смысла конкретную функцию выписывать. Ведь неизвестно, что подразумевалось под словом "протащить". Если из одной достаточно далёкой от "центра кривой" области в противоположную и всё время вперёд для обоих концов, что соответствует монотонности линии уровня, то это, скорее всего, зависит от длины стержня. На первый наивный взляд кажется, если его длина намного больше размеров "виража" кривой, то без попятного движения заднего конца не обойтись, о чём и сказал сразу Munin. А при возможности такого движения из соображений непрерывности и других протаскивание из одной бесконечности в другую возможно. Если начальное положение стержня может быть любым, а "протащить по всей кривой" означает достигнуть при любых движениях любых точек, то это означает поиск замкнутых линий уровня, соответствующих невозможности такого таскания. Возможно, что они есть у заданной кривой, а возможно, что и нет.

И так ясно, что задача очень интересная, и что в ней могут быть разные, совершенно удивительные случаи. Можно и трёхмерную кривую рассматривать, что может доставить лишь технические сложности.

Чего-то я разболтался, не ляпнуть бы чего, но я не понимаю, где у Архимедовой спирали продолжение в другую сторону.

[Munin]

(Оффтоп)

Архимедова спираль: $x=at\cos bt,\quad y=at\sin bt.$

[Oleg Zubelevich]

выберем единицы длины так, что $l=1$. Обозначим $f(x)=ax(x^2-b^2)$. Положение стержня зададим координатами его левого конца $(x,y)$ и углом $\psi\in(-\pi/2,\pi/2)$ наклона стержня к оси $x$ . Так, что координаты правого конца стержня имеют вид $(x+\cos\psi,y+\sin\psi)$.
Имеем

$$y=f(x),\quad y+\sin\psi=f(x+\cos\psi),$$

откуда

$$f(x)+\sin\psi=f(x+\cos\psi)\qquad (*)$$

Остается доказать, что существует пара функций $x(t),\psi(t)\in C^1(\mathbb{R})$ удовлетворяющая уравнению (*) и такая, что $x(t)\to\pm\infty$ as $t\to\pm\infty$