диск в конусе

[Munin]

(Специально для Oleg Zubelevich :-)

В гладком конусе с углом раствора $\alpha$ лежит однородный диск массы $m.$ (Ускорение силы тяжести $g$ направлено вниз, ось конуса вертикальна, раствором вверх.) Описать его движение. (а) когда в какой-то момент времени диск неподвижен (диск только качается), (б) когда такого момента времени нет (диск вращается). Рассмотреть только случаи, когда точек касания две, то есть, диск не начинает кататься как монета по плоскости.

(Задача появилась из наблюдения за тарелкой в сковородке, $\alpha$ был сравнительно мал.)

(Примечание: $\alpha$ - угол между осью конуса и образующей, а то "угол раствора" понимается по-разному.)

[Oleg Zubelevich]

Введем прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$, ось $z$ направлена вертикально вверх. Конус зададим уравнением $bz^2=x^2+y^2,\quad b=const>0,\quad z>0$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$ в которой лежит диск, радиус диска -- $R$. Эта плоскость пересекается с осью $z$ в точке $(0,0,a),\quad a>0$. Угол наклона $\Pi$ к плоскости $xy$ обозначим за $\alpha$. Угол между осью $x$ и прямой, по которой $\Pi$ пересекается с $xy$ обозначим за $\gamma$. Угол поворота диска в плоскости $\Pi$ обозначим за $\phi$.

Обобщенные координаты: $a,\alpha,\gamma,\phi$. Причем ясно, что $\gamma,\phi$ -- циклические. Данные обобщенные координаты неопределены в окрестности вертикального и горизонтального положения диска.

Потенциальная энергия

$$V=mg(a+h_\pm\sin\alpha),\quad h_\pm=\frac{\Big(-ba\pm\sqrt{(b+1)\big((ba^2-R^2)\cos^2\alpha+bR^2\sin^2\alpha\big)}\Big)\sin\alpha}{b\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$$

еще параметры задачи должны удовлетворять следующим неравенствам

$$w(h_\pm\pm R)>0,\quad w(u)=b(a+u\sin\alpha)^2-u^2\cos^2\alpha$$

При понижении порядка до системы с двумя степенями свободы что-то еще добавится в обобщенный потенциал. Но даже сейчас было бы интересно прикинуть какие есть положения равновесия.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #893995 писал(а):

Обобщенные координаты: $a,\alpha,\gamma,\phi$. Причем ясно, что $\gamma,\phi$ -- циклические.

А вот, кажется, не всё так просто. Если $\phi=\mathrm{const},$ то $\gamma$ - циклическая. Здесь $\phi$ отсчитывается от той же прямой, что и $\gamma.$ А вот если диск дополнительно вращается, $\dot{\phi}\ne 0,$ то он начинает вести себя как гироскоп, а изменение $\gamma$ означает поворот его оси.

Ещё чисто техническая мысль: неудобно с самого начала иметь две похожие буквы, $a$ и $\alpha.$ Где-нибудь в выкладках они могут перепутаться. Лучше обозначить по-разному. Например, глядя на те выражения, что сейчас есть, $\sin\alpha\to s,\quad\cos^2\alpha\to(1-s^2),$   $s\in[0,1].$

[Oleg Zubelevich]

Еще раз чуть формальней: пусть $l$ прямая по которой пересекаются плоскости $\Pi$ и $Oxy$. Угол $\gamma$ это угол между осью $Ox$ и прямой $l$; угол $\phi$ это угол между прямой $l$ и какой-нибудь прямой, начерченой на диске. Система $Oxyz$ неподвижна.

[Munin]

Да. Именно при таком понимании.

Причём условие (а) не гарантирует, что $\dot{\phi}=0$ всегда.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #894092 писал(а):

Причём условие (а) не гарантирует, что $\dot{\phi}=0$ всегда.

это я не понял, условие (а) я не рассматривал и, разумеется $\dot\phi$ не обязано быть нулем, я говорю про лагранжиан системы в общем положении. Лагранжиан не зависит от $\phi$ и $\gamma$

(Оффтоп)

если кто пожелает продолжитиь

$$\overline e_\xi=\cos\gamma \overline e_x+\sin\gamma \overline e_y,\quad \overline e_\eta=\sin\alpha \overline e_z+\cos\alpha(-\sin\gamma \overline e_x+\cos\gamma \overline e_y)$$

радиус-вектор центра диска:

$$\overline r_\pm=a \overline e_z+h_\pm\overline e_\eta$$

угловая скорость:

$$\overline \omega =\dot\gamma \overline e_z+\dot\alpha \overline e_\xi+\dot\phi[\overline e_\xi,\overline e_\eta]$$

$\overline e_\xi,\overline e_\eta$ -- базисные векторы декартовой системы координат на плоскости $\Pi$; центр системы в точке $(0,0,a)$ в координатах $Oxyz$

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #894103 писал(а):

Лагранжиан не зависит от $\phi$ и $\gamma$

Наверное... а выпишите его целиком, а?

[Oleg Zubelevich]

не, это хлопотно, даже на майпле. ну будет там еще кинетическая энергия -- громоздкая квадратичная форма по обобщенным скоростям... это уже мотивация нужна для таких экзерсисов

[Munin]

Ок.

[Munin]

Ещё подзадача (назовём её (в)): найти движения диска с постоянными $a$ и $\alpha.$

[Oleg Zubelevich]

ну это понятно, это стационарные движения -- экстремумы приведенного потенциала. все упирается в громоздкие формулы

-- Пт авг 08, 2014 17:18:33 --

вообще задача интересная, конфигурационное пространство нетривиальное, возможно, там бифуркации какие-то симпатичные

-- Пт авг 08, 2014 17:20:14 --

я писал формулы для двухточечного контакта, но движение может переходить с двухточечного контакта на одноточечный и обратно, это отдельная исторя, это надо на более простых примерах изучать

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #894319 писал(а):

ну это понятно, это стационарные движения -- экстремумы приведенного потенциала. все упирается в громоздкие формулы

Ну, качественно понять это тоже хотелось бы. Например, просто найти отношение угловых скоростей :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #894319 писал(а):

но движение может переходить с двухточечного контакта на одноточечный и обратно, это отдельная исторя

Да, вот я подумал, что здесь получается очень большая отдельная история. Собственно, диск может кататься по поверхности, как монета, и очень долго. И не видно, что бы двухточечный контакт в начальных условиях гарантировал двухточечный всегда. Даже больше скажу: диск вообще может подлетать, теряя контакт... Достаточно взять начальные условия с достаточно большой $\dot{\alpha}.$