2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
(Специально для Oleg Zubelevich :-)

В гладком конусе с углом раствора $\alpha$ лежит однородный диск массы $m.$ (Ускорение силы тяжести $g$ направлено вниз, ось конуса вертикальна, раствором вверх.) Описать его движение. (а) когда в какой-то момент времени диск неподвижен (диск только качается), (б) когда такого момента времени нет (диск вращается). Рассмотреть только случаи, когда точек касания две, то есть, диск не начинает кататься как монета по плоскости.

(Задача появилась из наблюдения за тарелкой в сковородке, $\alpha$ был сравнительно мал.)

(Примечание: $\alpha$ - угол между осью конуса и образующей, а то "угол раствора" понимается по-разному.)

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 17:17 


10/02/11
6786
Введем прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$, ось $z$ направлена вертикально вверх. Конус зададим уравнением $bz^2=x^2+y^2,\quad b=const>0,\quad z>0$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$ в которой лежит диск, радиус диска -- $R$. Эта плоскость пересекается с осью $z$ в точке $(0,0,a),\quad a>0$. Угол наклона $\Pi$ к плоскости $xy$ обозначим за $\alpha$. Угол между осью $x$ и прямой, по которой $\Pi$ пересекается с $xy$ обозначим за $\gamma$. Угол поворота диска в плоскости $\Pi$ обозначим за $\phi$.

Обобщенные координаты: $a,\alpha,\gamma,\phi$. Причем ясно, что $\gamma,\phi$ -- циклические. Данные обобщенные координаты неопределены в окрестности вертикального и горизонтального положения диска.

Потенциальная энергия
$$V=mg(a+h_\pm\sin\alpha),\quad h_\pm=\frac{\Big(-ba\pm\sqrt{(b+1)\big((ba^2-R^2)\cos^2\alpha+bR^2\sin^2\alpha\big)}\Big)\sin\alpha}{b\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}$$
еще параметры задачи должны удовлетворять следующим неравенствам
$$w(h_\pm\pm R)>0,\quad w(u)=b(a+u\sin\alpha)^2-u^2\cos^2\alpha$$
При понижении порядка до системы с двумя степенями свободы что-то еще добавится в обобщенный потенциал. Но даже сейчас было бы интересно прикинуть какие есть положения равновесия.

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #893995 писал(а):
Обобщенные координаты: $a,\alpha,\gamma,\phi$. Причем ясно, что $\gamma,\phi$ -- циклические.

А вот, кажется, не всё так просто. Если $\phi=\mathrm{const},$ то $\gamma$ - циклическая. Здесь $\phi$ отсчитывается от той же прямой, что и $\gamma.$ А вот если диск дополнительно вращается, $\dot{\phi}\ne 0,$ то он начинает вести себя как гироскоп, а изменение $\gamma$ означает поворот его оси.

Ещё чисто техническая мысль: неудобно с самого начала иметь две похожие буквы, $a$ и $\alpha.$ Где-нибудь в выкладках они могут перепутаться. Лучше обозначить по-разному. Например, глядя на те выражения, что сейчас есть, $\sin\alpha\to s,\quad\cos^2\alpha\to(1-s^2),$   $s\in[0,1].$

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 19:21 


10/02/11
6786
Еще раз чуть формальней: пусть $l$ прямая по которой пересекаются плоскости $\Pi$ и $Oxy$. Угол $\gamma$ это угол между осью $Ox$ и прямой $l$; угол $\phi$ это угол между прямой $l$ и какой-нибудь прямой, начерченой на диске. Система $Oxyz$ неподвижна.

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да. Именно при таком понимании.

Причём условие (а) не гарантирует, что $\dot{\phi}=0$ всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 22:14 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #894092 писал(а):
Причём условие (а) не гарантирует, что $\dot{\phi}=0$ всегда.

это я не понял, условие (а) я не рассматривал и, разумеется $\dot\phi$ не обязано быть нулем, я говорю про лагранжиан системы в общем положении. Лагранжиан не зависит от $\phi$ и $\gamma$



(Оффтоп)

если кто пожелает продолжитиь :D$$\overline e_\xi=\cos\gamma \overline e_x+\sin\gamma \overline e_y,\quad \overline e_\eta=\sin\alpha \overline e_z+\cos\alpha(-\sin\gamma \overline e_x+\cos\gamma \overline e_y)$$
радиус-вектор центра диска:
$$\overline r_\pm=a \overline e_z+h_\pm\overline e_\eta$$
угловая скорость:
$$\overline \omega =\dot\gamma \overline e_z+\dot\alpha \overline e_\xi+\dot\phi[\overline e_\xi,\overline e_\eta]$$
$\overline e_\xi,\overline e_\eta$ -- базисные векторы декартовой системы координат на плоскости $\Pi$; центр системы в точке $(0,0,a)$ в координатах $Oxyz$

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #894103 писал(а):
Лагранжиан не зависит от $\phi$ и $\gamma$

Наверное... а выпишите его целиком, а?

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение07.08.2014, 23:23 


10/02/11
6786
не, это хлопотно, даже на майпле. ну будет там еще кинетическая энергия -- громоздкая квадратичная форма по обобщенным скоростям... это уже мотивация нужна для таких экзерсисов

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение08.08.2014, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение08.08.2014, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ещё подзадача (назовём её (в)): найти движения диска с постоянными $a$ и $\alpha.$

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение08.08.2014, 17:16 


10/02/11
6786
ну это понятно, это стационарные движения -- экстремумы приведенного потенциала. все упирается в громоздкие формулы

-- Пт авг 08, 2014 17:18:33 --

вообще задача интересная, конфигурационное пространство нетривиальное, возможно, там бифуркации какие-то симпатичные

-- Пт авг 08, 2014 17:20:14 --

я писал формулы для двухточечного контакта, но движение может переходить с двухточечного контакта на одноточечный и обратно, это отдельная исторя, это надо на более простых примерах изучать

 Профиль  
                  
 
 Re: диск в конусе
Сообщение08.08.2014, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich в сообщении #894319 писал(а):
ну это понятно, это стационарные движения -- экстремумы приведенного потенциала. все упирается в громоздкие формулы

Ну, качественно понять это тоже хотелось бы. Например, просто найти отношение угловых скоростей :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #894319 писал(а):
но движение может переходить с двухточечного контакта на одноточечный и обратно, это отдельная исторя

Да, вот я подумал, что здесь получается очень большая отдельная история. Собственно, диск может кататься по поверхности, как монета, и очень долго. И не видно, что бы двухточечный контакт в начальных условиях гарантировал двухточечный всегда. Даже больше скажу: диск вообще может подлетать, теряя контакт... Достаточно взять начальные условия с достаточно большой $\dot{\alpha}.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group