Системы тел отсчёта в ТО

[warlock66613]

(Оффтоп)

Можно с сожалением констатировать, что люди в мире в очередной раз поделились на 2 категории: на тех, кто не решал упражнение 1, и на тех, кто не решил.

[Утундрий]

Любопытный момент. Без использования всех этих "ковариантных заморочек", то бишь тау и гаммы, все основные соотношения выводятся в разы быстрее. Тупо в компонентах. Но нет, мне захотелось сынвариантничать. В результате выдохся раньше времени и перегорел.

[schekn]

Утундрий в сообщении #893716 писал(а):

Любопытный момент. Без использования всех этих "ковариантных заморочек", то бишь тау и гаммы, все основные соотношения выводятся в разы быстрее. Тупо в компонентах. Но нет, мне захотелось сынвариантничать. В результате выдохся раньше времени и перегорел.

Поясните, что выводятся быстрее.

[Утундрий]

Не знаю, что пояснять. Это наблюдение.

[schekn]

Утундрий в сообщении #893760 писал(а):

Не знаю, что пояснять. Это наблюдение.

Тогда общими словами: зачем Зельманову и другим физикам потребовалось создавать такой формализм в рамках ОТО?
Может с этого надо было начать?

[Утундрий]

Ну, хочется иногда взять что-нибудь и расщепить. Уравнения становятся хоть и длиннее, зато интуитивно понятнее. Появляется всякий там "физический смысл членов уравнения" и всё такое...

[Munin]

Утундрий в сообщении #894049 писал(а):

Появляется всякий там "физический смысл членов уравнения"...

иногда надуманный...

[Утундрий]

Ещё приятно, что всё в итоге выражается через наблюдаемые величины. То есть, считаем некие хиварианты и сразу видим с какою силою нашего покоящегося наблюдателя будет плющить $\bar f_i \equiv - \frac{1}{h}\left( {h_{,i} + a_{i,0} } \right)$ и колбасить $\bar \omega _{ik} \equiv \frac{1}{2}\left( {a_{k,i} - a_{i,k} + \bar f_i a_k - \bar f_k a_i } \right)$.

P.S. Это, кстати, ответ на задачку.

[schekn]

Утундрий в сообщении #894049 писал(а):

Ну, хочется иногда взять что-нибудь и расщепить.

Мне кажется дело не только в этом. Им хотелось ввести некие величины, которые были бы инвариантны и которые можно было бы считать "физическими", а общая коваринатность выбивала твердую почву под ногами. В конце концов как-то надо проверять теорию, то есть за что-то зацепиться. Разбиение 3+1 хотя и нековариантно, но дает сразу понятие время, и условия Гильберта, которые он назвал принципом причинности, здесь по-видимому обязательны.

[Утундрий]

Нашёл хивариантам занятное применение...

Рассмотрим двумерное пространство Минковского

$$ds^2 = d\bar t^2 - d\bar x^2 \eqno (1)$$

и перейдём в нём к риндлеровым координатам

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\bar t = \xi \operatorname{sh} \tau } \\ {\bar x = \xi \operatorname{ch} \tau } \\ \end{array} } \right.$$

в которых интервал принимает вид

$$ds^2 = \xi ^2 d\tau ^2 - d\xi ^2 \eqno (2)$$

Я не буду говорить много слов об этих хорошо известных координатах. Желающие подробностей и картинок, могут сходить сюда.

Так вот. Цель у меня будет такая: имея перед собой только $(2)$ проломиться сквозь горизонт $\xi = 0$ до состояния $(1)$, причём не абы как, а действуя рутинно и однообразно и никаких замен с потолка не угадывая. А помогут мне в этом следующие величины:

$$\begin{gathered} h \equiv \sqrt {g_{00} } \hfill \\ a_i \equiv - h^{ - 1} g_{0i} \hfill \\ \bar g_{ik} \equiv - g_{ik} + a_i a_k \hfill \\ \bar f_i \equiv - h^{ - 1} \left( {h_{,i} + a_{i,0} } \right) \hfill \\ \bar \omega _{ik} \equiv \frac{1} {2}\left( {a_{k,i} - a_{i,k} + \bar f_i a_k - \bar f_k a_i } \right) \hfill \\ \bar D_{ik} \equiv \frac{1} {2}h^{ - 1} g_{ik,0} \hfill \\ \end{gathered}\eqno (3)$$

Посчитав их для $(2)$, обнаружим, что на горизонте имеются проблемы: $h = \xi ,\quad \bar f_1 = - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \xi }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \xi }.$ Это значит, что систему тел отсчёта надобно менять. Для этого совершим простейшее НЕхронометрическое преобразование

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\tau = t} \\ {\xi = \xi \left( {t,x} \right)} \\ \end{array} } \right.$$

что даст нам следующий интервал

$$ds^2 = \left( {\xi ^2 - \xi _{,t}^2 } \right)dt^2 - \xi _{,t} \xi _{,x} 2dtdx - \xi _{,x}^2 dx^2 $$

Снова вычислим $(3)$. Особого внимания из них требуют следующие

$$\[ \begin{gathered} h = \sqrt {\xi ^2 - \xi _{,t}^2 } \hfill \\ \bar f_1 = - \frac{{\xi \xi _{,x} \left[ { - 2\xi _{,t}^2 + \xi \left( {\xi + \xi _{,tt} } \right)} \right]}} {{\left( {\xi ^2 - \xi _{,t}^2 } \right)^2 }} \hfill \\ \bar g_{11} = \frac{{\xi ^2 \xi _{,x}^2 }} {{\xi ^2 - \xi _{,t}^2 }} \hfill \\ \bar D_{11} = \frac{{\xi \xi _{,x} \left[ {\xi \left( {\xi ^2 - \xi _{,t}^2 } \right)\xi _{,tx} + \xi _{,x} \left( { - \xi _{,t}^3 + \xi \xi _{,t} \xi _{,tt} } \right)} \right]}} {{\left( {\xi ^2 - \xi _{,t}^2 } \right)^{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Первым делом избавимся от силы инерции, положив

$$ - 2\xi _{,t}^2 + \xi \left( {\xi + \xi _{,tt} } \right) = 0$$

Интегрируя разок, получим

$$ \pm \xi _{,t} = \xi \sqrt {1 + C\left( x \right)\xi ^2 } $$

откуда сразу же следует выражение $h^2 = - C\left( x \right)\xi ^4 $, показывающее, что $C$ должно быть отрицательно. Поэтому положим $C\left( x \right) \equiv - u\left( x \right)^2 $, где $u$ не обращается в нуль.

Интегрируя далее, находим

$$ \pm t = \tilde v\left( x \right) + \int\limits_{}^\xi {\frac{{d\xi }}{{\xi \sqrt {1 - u\left( x \right)^2 \xi ^2 } }}} $$

Интеграл легко берётся

$$\frac{\xi }{{1 + \sqrt {1 - u\left( x \right)^2 \xi ^2 } }} = e^{ \pm t - \tilde v\left( x \right)} \equiv v\left( x \right)^2 e^{ \pm t} $$

где $v$ - ещё одна некоторая не обращающаяся в нуль функция.

Разрешая относительно $\xi $, находим

$$\xi = \frac{2}{{v\left( x \right)^{ - 2} e^{ \mp t} + v\left( x \right)^2 u\left( x \right)^2 e^{ \pm t} }}$$

Этому выражению можно придать более симпатичный вид

$$\xi = \frac{1}{{a\left( x \right)^2 e^{ - t} + b\left( x \right)^2 e^t }}\eqno (4)$$

гже $a$ и $b$ уже традиционно некоторые и не обращающиеся в нуль функции.

Снва посчитав $(3)$, убеждаемся, что $\bar f_1 $, как ему и полагается, обнулился, а остальные потенциально проблемные величины приняли вид

$$\[ \begin{gathered} h = \frac{{2ab}} {{\left( {a^2 e^{ - t} + b^2 e^t } \right)^2 }} \hfill \\ \bar g_{11} = \frac{{\left( {aa'e^{ - t} + bb'e^t } \right)^2 }} {{a^2 b^2 \left( {a^2 e^{ - t} + b^2 e^t } \right)^2 }} \hfill \\ \bar D_{11} = \frac{{\left( {ab' - ba'} \right)\left( {aa'e^{ - t} + bb'e^t } \right)}} {{a^2 b^2 \left( {a^2 e^{ - t} + b^2 e^t } \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Мы видим, что дальнейшее упрощение возможно за счёт изничтожения нестационарности пространственной метрики. Для чего достаточно положить $a=b$. Что даст следующий вид искомой нами функции перехода

$$\xi = \frac{{u\left( x \right)^2 }}{{e^{ - t} + e^t }}$$

В этом месте у меня кончились буквы, поэтому давайте сделаем вид, что функция $u$ появляется здесь впервые (свойства её можно брать старые).

После такой замены интервал примет вид

$$ds^2 = \left( {\frac{{u^2 }}{{2\operatorname{ch} ^2 t}}dt + uu'\operatorname{th} t \cdot dx} \right)^2 - \left( {uu'} \right)^2 dx^2 $$

Дальше напрашивается $\bar g_{11} = \left( {uu'} \right)^2 = 1$, для чего положим $u\left( x \right) \equiv \sqrt {2x} $ и окончательно получим

$$\[ \begin{gathered} \xi = \frac{{2x}} {{e^{ - t} + e^t }} \hfill \\ ds^2 = \left( {\frac{x} {{\operatorname{ch} ^2 t}}dt + \operatorname{th} t \cdot dx} \right)^2 - dx^2 \hfill \\ \end{gathered} \eqno (5) \] $$

Выглядит страшновато? Однако, те из величин $(3)$, которые имеют физический смысл, ведут себя просто прекрасно! Но, чтобы это увидеть, нужно совершить на этот раз хронометрическое преобразование, не меняющее хивариантов (а чего их менять, коль они и так замечательные?)

Итак, выполним хронометрическое преобразование

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {t = t\left( {\tilde t,\tilde x} \right)} \\ {x = \tilde x} \\ \end{array} } \right.$$

после которого интервал $(5)$ примет угадайте что? Правильно, вид:

$$ds^2 = \left( {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde t} d\tilde t + \left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde x} d\tilde x} \right)^2 - d\tilde x^2 $$

Осталось потребовать

$$\left| {\begin{array}{*{20}c} {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde t} = 1} \\ {\left( {\tilde x\operatorname{th} t} \right)_{,\tilde x} = 0} \\ \end{array} } \right.$$

и мы получим

$$\begin{gathered} \operatorname{th} t = \frac{{\tilde t + \operatorname{const} }}{\tilde x} \hfill \\ ds^2 = d\tilde t^2 - d\tilde x^2 \hfill \\ \end{gathered} $$

Вуаля.

P.S. Для Шварцшильда такой подход тоже работает. Когда-нибудь наберусь духу и попробую провернуть для Керра.

[schekn]

Утундрий в сообщении #898846 писал(а):

Цель у меня будет такая: имея перед собой только $(2)$ проломиться сквозь горизонт $\xi = 0$ до состояния $(1)$,

Координаты Риндлера хорошо известны, но почему-то все забывают о том, что они состоятельны только в области , которая вырезает 1/4 Минковского. А преобразования к метрике (2), которые Вы не обозначили, вырождаются на "горизонте". Отсюда хотелось бы понять, в какой области работают координаты в самой последней метрики, которая по виду - про-во Минковского. Если всюду, как и должно быть, то я предположу, что Вы где-то совершили запрещенные преобразования координат, но поскольку буковки кончились, проверить это сможет лишь автор.
Когда будете работать со Шварцшильдом, хотелось бы , чтобы Вы более аккуратно освещали этот вопрос.

[Утундрий]

schekn в сообщении #899642 писал(а):

Вы где-то совершили запрещенные преобразования координат

В самом начале, когда к Риндлеру переходил.

Со Шварцшильдом даже несколько проще - там метрика существует по обе стороны от горизонта. Поэтому возникающие уравнения (а они несколько сложнее чем в рассмотренном случае) не обязательно решать во всей области, а только в окрестности горизонта.

[Утундрий]

Тем, кто помнит об этой теме: анонсирую следующую итерацию. Оно ведь как получилось - запнулся, отвлёкся, забылся... А на днях вернулся и внезапно скрестил ежа координатного и ужа ковариантного подходов. Одним словом - попёрло. К выходным, глядишь, чего-нибудь выродится.