Нильпотентные матрицы

[Kort96]

Доброго времени суток!
На просторах сети набрел на такую фразу:
" С точностью до сопряженности в $F_n$ имеется единственная максимальная нильпотентная подалгебра - алгебра всех верхних треугольных матриц с нулевой диагональю."
Здесь $F_n$ - полная матричная алгебра (т.е. как я понял это все квадратные матрицы $n \times n$ над фиксированным полем $F$)
Правильно ли я понимаю под этим, что если у нас имеется нильпотентная алгебра над произвольным полем $F$ элементы которой нильпотентные квадратные матрицы $n\times n$ над $F$, то найдется такая матрица $P$, что для всякой матрицы $Q$ из этой алгебры, $P^{-1}QP$ - верхняя треугольная матрица с нулевой диагональю?
Есть ли у этого утверждения какое-нибудь известное название (вроде Теорема Ньютона-Лейбница или т.п.)? Если не трудно, поделитесь ссылкой на доказательство.
Спасибо

[ИСН]

Ваши "найдётся" и "для всякой", как мне кажется, перепутались местами.
А так, подобно большинству проблем с матрицами, эта решается через ЖНФ. Ведь к ней можно привести, она верхнетреугольная, а на диагонали у неё сами знаете что.

[Kort96]

Спасибо за ответ.

ИСН в сообщении #893574 писал(а):

Ваши "найдётся" и "для всякой", как мне кажется, перепутались местами.
А так, подобно большинству проблем с матрицами, эта решается через ЖНФ. Ведь к ней можно привести, она верхнетреугольная, а на диагонали у неё сами знаете что.

В том-то и дело, что не перепутались. На фразу наткнулся здесь. Я имел ввиду существование одной матрицы единой для всех элементов алгебры, иначе цитируемая мной фраза становится совсем мне непонятной (здесь же все таки речь об алгебре над полем, а не просто о каком-то наборе нильпотентных матриц, т.е. тут произведение и сумма двух нильпотентных матриц из этой алгебры снова должно быть нильпотентной матрицей). Что касается ЖНФ, то как вы можете заметить в ссылке не указывается на алгебраическую замкнутость поля $F$, т.е. это вполне может быть и какое-нибудь $GF(p^n)$, а в них чудеса творятся (Понятно,конечно, что любое поле можно алгебраически замкнуть, но тогда и полученная в итоге верхнетреугольная матрица в ЖНФ может выйти за рамки исходного поля)

[ИСН]

А ведь да, Вы правы.
Как называется, не знаю.

[Xaositect]

Доказать можно, например, так:

Пусть $N$ - нильпотентная подалгебра алгебры $M(V)$ линейных операторов, действующих на линейном пространстве $V$. Во-первых, найдется ненулевой вектор $x\in V$ такой, что $Nx = 0$ ($Nx = \{Ax | A\in N \}$). Действительно, возьмем произвольный вектор $a$ и построим последовательность линейных подпространств $L_i = N^i a$. Так как $N$ нильпотентна, эта последовательность рано или поздно сойдется в 0, и последнее нетривиальное подпространство обращается в 0 при действии алгебры $N$.
Пусть $L_0 = \bigcap_{A\in N} \ker A$, то есть максимальное подпространство $V$, состоящее из векторов $x$, обладающих свойством $Nx = 0$. Рассмотрим линейное пространство $V_1 = V/L_0 = \{ v + L_0 | v\in V \}$, для каждого оператора $A\in N$ оператор $A_1$ на $V_1$, действующих как $A_1(v + L_0) = Av + L_0$, и для всей алгебры $N$ алгебру $N_1 = \{A_1 | A\in N\}$. Эта алгебра также нильпотентна, для нее тоже существует ядро $L_1$ и т.д. В исходном пространстве $V$ подпространству $L_1 \subset V_1$ соответствует подпространство $L_0 + L_1$. Таким образом строится последовательность $\{0\}\subset L_0 \subset L_0 + L_1 \subset L_0 + L_1 + L_2$ и т.д. причем $N$ переводит следующий элемент последовательности в предыдущий. Выберем произвольные базисы в $L_i$, и матрицы операторов из $N$ в этих базисах будут верхнетреугольными.

Какого-то специального названия или ссылки не знаю.

[VladimirKr]

Цитата:

... Что касается ЖНФ, то как вы можете заметить в ссылке не указывается на алгебраическую замкнутость поля $F$, т.е. это вполне может быть и какое-нибудь $GF(p^n)$, а в них чудеса творятся (Понятно,конечно, что любое поле можно алгебраически замкнуть, но тогда и полученная в итоге верхнетреугольная матрица в ЖНФ может выйти за рамки исходного поля)

Неактуально, но все же...
Алгебраическая замкнутость в данном конкретном случае не требуется. Характеристический многочлен нильпотентной матрицы всегда разлагается на линейные множители :)

[Kort96]

Немного жаль конечно что не удалось найти официальных упоминаний об этом свойстве (в журналах или учебниках), тем не менее, всем просто огромное спасибо за ответы, особенно Xaositect

[patzer2097]

Нильпотентной подалгеброй $N$ называется та, которая состоит из нильпотентных элементов, а не та, в которой условие $N^i=0$ выполнено при некотором $i$. Поэтому переход

[s]Xaositect в [/s][s][s]сообщении[/s] [/s]#893605 писал(а):

построим последовательность линейных подпространств$L_i = N^i a$.Так как $N$ нильпотентна, эта последовательность рано или поздно сойдется в 0, и последнее нетривиальное подпространство обращается в 0

остается непонятным.

Результат ТС становится нетривиальным в более слабом предположении, что алгебра $N$ состоит только из нильпотеных матриц. В этом случае он следует из теоремы Бернсайда. Действительно, в силу этой теоремы такая подалгебра $N$ обладает собственным инвариантным подпространством, и остальное следует индукцией по размеру матриц.

[Xaositect]

patzer2097 в сообщении #893922 писал(а):

:twisted: Нильпотентной подалгеброй $N$ называется та, которая состоит из нильпотентных элементов, а не та, в которой условие $N^i=0$ выполнено при некотором $i$.

Я всегда думал наоборот, и математическая энциклопедия со мной согласна.

[patzer2097]

Xaositect в сообщении #893930 писал(а):

Я всегда думал наоборот, и математическая энциклопедия со мной согласна.

Вы правы, я посмотрел здесь и оказался неправ Но если алгебра действительно нильпотентна - то существование общего собственного вектора очевидно и задача становится совсем простой..