2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нильпотентные матрицы
Сообщение05.08.2014, 22:11 


05/08/14
4
Доброго времени суток!
На просторах сети набрел на такую фразу:
" С точностью до сопряженности в $F_n$ имеется единственная максимальная нильпотентная подалгебра - алгебра всех верхних треугольных матриц с нулевой диагональю."
Здесь $F_n$ - полная матричная алгебра (т.е. как я понял это все квадратные матрицы $n \times n$ над фиксированным полем $F$)
Правильно ли я понимаю под этим, что если у нас имеется нильпотентная алгебра над произвольным полем $F$ элементы которой нильпотентные квадратные матрицы $n\times n$ над $F$, то найдется такая матрица $P$, что для всякой матрицы $Q$ из этой алгебры, $P^{-1}QP$ - верхняя треугольная матрица с нулевой диагональю?
Есть ли у этого утверждения какое-нибудь известное название (вроде Теорема Ньютона-Лейбница или т.п.)? Если не трудно, поделитесь ссылкой на доказательство.
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение05.08.2014, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ваши "найдётся" и "для всякой", как мне кажется, перепутались местами.
А так, подобно большинству проблем с матрицами, эта решается через ЖНФ. Ведь к ней можно привести, она верхнетреугольная, а на диагонали у неё сами знаете что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение05.08.2014, 23:33 


05/08/14
4
Спасибо за ответ.
ИСН в сообщении #893574 писал(а):
Ваши "найдётся" и "для всякой", как мне кажется, перепутались местами.
А так, подобно большинству проблем с матрицами, эта решается через ЖНФ. Ведь к ней можно привести, она верхнетреугольная, а на диагонали у неё сами знаете что.

В том-то и дело, что не перепутались. На фразу наткнулся здесь. Я имел ввиду существование одной матрицы единой для всех элементов алгебры, иначе цитируемая мной фраза становится совсем мне непонятной (здесь же все таки речь об алгебре над полем, а не просто о каком-то наборе нильпотентных матриц, т.е. тут произведение и сумма двух нильпотентных матриц из этой алгебры снова должно быть нильпотентной матрицей). Что касается ЖНФ, то как вы можете заметить в ссылке не указывается на алгебраическую замкнутость поля $F$, т.е. это вполне может быть и какое-нибудь $GF(p^n)$, а в них чудеса творятся (Понятно,конечно, что любое поле можно алгебраически замкнуть, но тогда и полученная в итоге верхнетреугольная матрица в ЖНФ может выйти за рамки исходного поля)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение06.08.2014, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А ведь да, Вы правы.
Как называется, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение06.08.2014, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Доказать можно, например, так:

Пусть $N$ - нильпотентная подалгебра алгебры $M(V)$ линейных операторов, действующих на линейном пространстве $V$. Во-первых, найдется ненулевой вектор $x\in V$ такой, что $Nx = 0$ ($Nx = \{Ax | A\in N \}$). Действительно, возьмем произвольный вектор $a$ и построим последовательность линейных подпространств $L_i = N^i a$. Так как $N$ нильпотентна, эта последовательность рано или поздно сойдется в 0, и последнее нетривиальное подпространство обращается в 0 при действии алгебры $N$.
Пусть $L_0 = \bigcap_{A\in N} \ker A$, то есть максимальное подпространство $V$, состоящее из векторов $x$, обладающих свойством $Nx = 0$. Рассмотрим линейное пространство $V_1 = V/L_0 = \{ v + L_0 | v\in V \}$, для каждого оператора $A\in N$ оператор $A_1$ на $V_1$, действующих как $A_1(v + L_0) = Av + L_0$, и для всей алгебры $N$ алгебру $N_1 = \{A_1 | A\in N\}$. Эта алгебра также нильпотентна, для нее тоже существует ядро $L_1$ и т.д. В исходном пространстве $V$ подпространству $L_1 \subset V_1$ соответствует подпространство $L_0 + L_1$. Таким образом строится последовательность $\{0\}\subset L_0 \subset L_0 + L_1 \subset L_0 + L_1 + L_2$ и т.д. причем $N$ переводит следующий элемент последовательности в предыдущий. Выберем произвольные базисы в $L_i$, и матрицы операторов из $N$ в этих базисах будут верхнетреугольными.

Какого-то специального названия или ссылки не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение06.08.2014, 08:12 


15/06/12
56
Цитата:
... Что касается ЖНФ, то как вы можете заметить в ссылке не указывается на алгебраическую замкнутость поля $F$, т.е. это вполне может быть и какое-нибудь $GF(p^n)$, а в них чудеса творятся (Понятно,конечно, что любое поле можно алгебраически замкнуть, но тогда и полученная в итоге верхнетреугольная матрица в ЖНФ может выйти за рамки исходного поля)


Неактуально, но все же...
Алгебраическая замкнутость в данном конкретном случае не требуется. Характеристический многочлен нильпотентной матрицы всегда разлагается на линейные множители :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение07.08.2014, 13:07 


05/08/14
4
Немного жаль конечно что не удалось найти официальных упоминаний об этом свойстве (в журналах или учебниках), тем не менее, всем просто огромное спасибо за ответы, особенно Xaositect

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение07.08.2014, 13:52 
Заслуженный участник


14/03/10
867
:twisted: Нильпотентной подалгеброй $N$ называется та, которая состоит из нильпотентных элементов, а не та, в которой условие $N^i=0$ выполнено при некотором $i$. Поэтому переход
[s]Xaositect в [/s][s][s]сообщении[/s] [/s]#893605 писал(а):
построим последовательность линейных подпространств$L_i = N^i a$.Так как $N$ нильпотентна, эта последовательность рано или поздно сойдется в 0, и последнее нетривиальное подпространство обращается в 0
остается непонятным.

Результат ТС становится нетривиальным в более слабом предположении, что алгебра $N$ состоит только из нильпотеных матриц. В этом случае он следует из теоремы Бернсайда. Действительно, в силу этой теоремы такая подалгебра $N$ обладает собственным инвариантным подпространством, и остальное следует индукцией по размеру матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение07.08.2014, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
patzer2097 в сообщении #893922 писал(а):
:twisted: Нильпотентной подалгеброй $N$ называется та, которая состоит из нильпотентных элементов, а не та, в которой условие $N^i=0$ выполнено при некотором $i$.
Я всегда думал наоборот, и математическая энциклопедия со мной согласна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нильпотентные матрицы
Сообщение07.08.2014, 14:23 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Xaositect в сообщении #893930 писал(а):
Я всегда думал наоборот, и математическая энциклопедия со мной согласна.
Вы правы, я посмотрел здесь и оказался неправ :-( Но если алгебра действительно нильпотентна - то существование общего собственного вектора очевидно и задача становится совсем простой..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group