Помощь с тензорами

[tibon]

Здравствуйте!

В данный момент изучаю статью D. Stroud "Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material" (ссылка).
В статье рассматривается проблема расчета эффективных характеристик неоднородной среды (в частности, электропроводности). приходят к таким соотношениям для тензора эффективной проводимости:

$$\hat{\sigma}_{e}=\hat{\sigma}_{0}+\left<\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}\hat{\Gamma} \right)^{-1}\right>^{-1}\left<\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}\hat{\Gamma} \right)^{-1}\delta\hat{\sigma}\right>$$

где

$\hat{\sigma}_{0}$ - некоторая постоянная сравнения,

$\delta\hat{\sigma}=\hat{\sigma}-\hat{\sigma}_{0}$,

$\left<\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}\hat{\Gamma} \right)^{-1}\right> = \lim_{V\to \infty}V^{-1}\sum_{i} \upsilon_{i}\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}_{i}\hat{\Gamma}_{i} \right)^{-1}$

$\left<\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}\hat{\Gamma} \right)^{-1}\delta\hat{\sigma}\right> = \lim_{V\to \infty}V^{-1}\sum_{i} \upsilon_{i}\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}_{i}\hat{\Gamma}_{i} \right)^{-1}\delta\hat{\sigma}_{i}$

$\upsilon_{i}$ - объемная доля фазы

Метод когерентного потенциала определяется с помощью:

$\left<\left( \hat{1} - \delta\hat{\sigma}\hat{\Gamma} \right)^{-1}\delta\hat{\sigma}\right> = 0$

В чем сам вопрос - после изложения теории рассматриваются некоторые примеры её применения, с ними и возникает загвоздка.

1) Двухфазная среда, сферические изотропные кристаллиты.
Одной фазе соответствует объемная доля $c$ и её тензор проводимости $\hat{\sigma}_{A} = \sigma_{A}\hat{1}$, вторая фаза - ${1-c}$ и $\hat{\sigma}_{B} = \sigma_{B}\hat{1}$, $\hat{1}$ - единичный тензор.
В данном случае $\hat{\Gamma}$ определяется как $\hat{\Gamma}\equiv\Gamma_{\alpha\beta} = -\frac{\delta_{\alpha\beta}}{3\sigma_{e}}$, где $\delta_{\alpha\beta}$ - символ Кронекера. (Расчет $\Gamma_{\alpha\beta}$ могу привести, в случае необходимости, но это не относится напрямую к моему вопросу)

Из условия самосогласованности получим:

$$ c\left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right) + \left(1-c\right) \left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right) = 0$$

из которого подстановкой $\hat{\Gamma}$ получим:

$$ c\frac{\sigma_{A}-\sigma_{e}}{\sigma_{A}+2\sigma_{e}} + \left(1-c\right)\frac{\sigma_{B}-\sigma_{e}}{\sigma_{B}+2\sigma_{e}} = 0 $$

Данное выражение можно получить не рассматривая объекты как тензоры, а просто проведя несколько элементарных алгебраических действий, рассматривая их как константы (просто $\sigma_{A}$ и т.д.), но я сомневаюсь в правомерности таких действий. Возникает вопрос - такое можно сделать в силу того, что тензоры проводимости фаз представлены в виде "константа, умноженная на единичный тензор"? Нормальной подстановкой тензоров, свертками и т.д. - задачу решить не получается.
Также, в следующем примере в данной статье тензор проводимости фазы представлен уже не просто произведением константы и единичного тензора - там получить нужное выражение не получается никак совершенно (её могу привести чуть позже, сейчас вынужден отойти).

Различные книги, где рассматривают тензоры, читал (например, Коренев Г.В. "Тензорное исчисление", а также ряд других), но видимо что-то недоработал.

Хотелось бы услышать какие-нибудь наводящие мысли или, быть может, ссылки на литературу, где рассмотрено нечто подобное.
Заранее спасибо!

[Munin]

tibon в сообщении #893052 писал(а):

Данное выражение можно получить не рассматривая объекты как тензоры, а просто проведя несколько элементарных алгебраических действий, рассматривая их как константы (просто $\sigma_{A}$ и т.д.), но я сомневаюсь в правомерности таких действий. Возникает вопрос - такое можно сделать в силу того, что тензоры проводимости фаз представлены в виде "константа, умноженная на единичный тензор"? Нормальной подстановкой тензоров, свертками и т.д. - задачу решить не получается.

Я так понимаю, что да. Все тензоры представляете в виде $c\hat{1},$ выносите $\hat{1}$ за скобку (обратный от него - тоже будет $\hat{1}$), и в коэффициенте остаётся обычное алгебраическое выражение с числами.

tibon в сообщении #893052 писал(а):

Также, в следующем примере в данной статье тензор проводимости фазы представлен уже не просто произведением константы и единичного тензора - там получить нужное выражение не получается никак совершенно (её могу привести чуть позже, сейчас вынужден отойти).

Покажите.

tibon в сообщении #893052 писал(а):

Хотелось бы услышать какие-нибудь наводящие мысли или, быть может, ссылки на литературу, где рассмотрено нечто подобное.
Заранее спасибо!

Тут нужен не учебник, а задачник, чтобы поупражняться в простейших действиях с тензорами, чтобы "сродниться" с ними, и обращаться проще, как вы уже наверняка обращаетесь с векторами, производными, средними. Никакой потаённой премудрости здесь нет. Разве что, только, мне привычней запись с индексами, и мне кажется, она мощней по возможностям, и проще по привыканию. Но это - дело вкуса, и кто с чем впервые познакомился (я - с ЛЛ-2).

[tibon]

Спасибо за ответ!

А какой задачник вы можете посоветовать? Я смотрел некоторые, но конкретно того, что пригодилось бы здесь - не нашел.

Вообще, индексной записью несколько владею (как раз в Кореневе она и была, там почти весь учебник аккуратно выводил все соотношения), решал различные задачи для вывода стандартных соотношений векторной алгебры и т.д. Но к данному случаю не вижу как это применить.

По поводу второй задачи.
2) Рассматривается поликристаллическая среда с анизотропными кристаллитами

Как и в первой задаче тензор эффективной проводимости определяется как (забыл указать): $\hat{\sigma}_{e} = \sigma_{e}\hat{1}$
Тензор $\hat{\Gamma}$, как и в первой задаче, равен $-\frac{\hat{1}}{3\sigma_{e}}$.
Условие самосогласованности, определяющее $\sigma_{e}$, записывается как:

$$ \left< \left[ \hat{1} + \left( \frac{\hat{1}}{3\sigma_{e}} \right) \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right]^{-1} \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right> = 0 $$

Тут возникает еще вопрос, почему в статье записывается вот так:

$$ \left< \left[ 1 + \left( \frac{1}{3\sigma_{e}} \right) \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right]^{-1} \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right> = 0 $$

Я не вижу причин, почему единичные тензоры переходят просто в константы.

Указывается, что в случае одноосного кристалла, когда координатные оси параллельны главным осям кристаллита, задача легко решается, а тензор проводимости принимает такой вид:

$$ \hat{\sigma} = \sigma_{0} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \\ \end{pmatrix} $$

И приводится ответ: $ x = \frac{1}{4} \left[ -3 + \left( 9 + 8\varepsilon \right)^{1/2} \right] $, где: $ x = \sigma_{e}/\sigma_{0} - 1 $, а $ \varepsilon = \alpha - 1 $.
Указывается лишь, что решается сведением условия к квадратному уравнению относительно $ \sigma_{e} $.

[Munin]

tibon в сообщении #893180 писал(а):

Я не вижу причин, почему единичные тензоры переходят просто в константы.

Небрежность автора, ошибка наборщика, или сознательное нежелание писать единицу с крышечкой. Впрочем, раз в других местах она написана, значит, скорее, первые две причины.

tibon в сообщении #893180 писал(а):

Условие самосогласованности, определяющее $\sigma_{e}$, записывается как:

$$ \left< \left[ \hat{1} + \left( \frac{\hat{1}}{3\sigma_{e}} \right) \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right]^{-1} \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right> = 0 $$

После этой формулы в статье важное пояснение:

Цитата:

where the brackets denote an average over possible crystallite orientations.

Brackets - я так понимаю, это квадратные скобки. Хотя, вслед за Дираком, речь может идти и об угловых, это я не смог понять по тексту. В любом случае, это важное замечание для вычисления тензоров.

-- 04.08.2014 00:55:13 --

tibon в сообщении #893180 писал(а):

Указывается, что в случае одноосного кристалла, когда координатные оси параллельны главным осям кристаллита, задача легко решается...
И приводится ответ

Тут всё очень просто. Берёте уравнение (3.3) (которое у вас в сообщении post893052.html#p893052 выписано предпоследним), и поскольку все тензоры диагональные, оно распадается на три скалярных уравнения - для соответствующих диагональных компонент. Надо посмотреть на эту систему.

[tibon]

Munin в сообщении #893194 писал(а):

Небрежность автора, ошибка наборщика, или сознательное нежелание писать единицу с крышечкой. Впрочем, раз в других местах она написана, значит, скорее, первые две причины.

У меня тоже были подобные мысли. Но решил, что лучше лишний раз убедиться.

Munin в сообщении #893194 писал(а):

После этой формулы в статье важное пояснение:

Цитата:

where the brackets denote an average over possible crystallite orientations.

Brackets - я так понимаю, это квадратные скобки. Хотя, вслед за Дираком, речь может идти и об угловых, это я не смог понять по тексту. В любом случае, это важное замечание для вычисления тензоров.

Думаю, что здесь речь идет именно об угловых скобках - в прошлые разы они указывали на усреднение по ансамблю систем, в данном случае оговорили, что усредняют уже по возможным ориентациям кристаллита.

Munin в сообщении #893194 писал(а):

Тут всё очень просто. Берёте уравнение (3.3) (которое у вас в сообщении post893052.html#p893052 выписано предпоследним), и поскольку все тензоры диагональные, оно распадается на три скалярных уравнения - для соответствующих диагональных компонент. Надо посмотреть на эту систему.

Хорошо, спасибо, завтра посмотрю, что получается.
О результатах потом отпишусь.

[Munin]

tibon в сообщении #893198 писал(а):

Думаю, что здесь речь идет именно об угловых скобках - в прошлые разы они указывали на усреднение по ансамблю систем, в данном случае оговорили, что усредняют уже по возможным ориентациям кристаллита.

"Кристалла". Мне это сомнительно. Если уж ввели обозначение, то так его и используйте. Впрочем, может быть, вы и правы: выше дана формула (3.3) тоже с квадратными скобками, но без каких-либо пояснений. Возможно, квадратные скобки используются чисто типографски как эквивалент круглых (чтобы зрительно различать).

[tibon]

Приношу свои извинения - были некоторые проблемы с интернетом и наличием времени.

В статье все-таки пишут про "crystallite orientations", а не самого кристалла. Вы же сами цитату давали. Или я чего-то просто недопонимаю? :)

Вообще, закрадываются подозрения на счет верности соотношения - $ \hat{1} - \left(\hat{1}/3\sigma_{e}\right)\left(\hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1}\right) $ у нас же тут получается что слева от минуса стоит тензор 2-го ранга, а справа - тензор либо 0, либо 2, либо 4 ранга, в зависимости от того, будут ли свертки или не будут?

А по поводу системы:

$$ \left( \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right) + \left(\hat{1}/3\sigma_{e}\right) \left( \begin{matrix} \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{0}\alpha - \sigma_{e} \\ \end{matrix} \right) \right)^{-1} \left( \begin{matrix} \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{0}\alpha - \sigma_{e} \\ \end{matrix} \right) = $$ $$ = \left( \begin{matrix} \frac{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}}{3\sigma_{e}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}}{3\sigma_{e}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e}}{3\sigma_{e}} \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{0}\alpha - \sigma_{e} \\ \end{matrix} \right) = $$ $$ = \left( \begin{matrix} \frac{3\sigma_{e}}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\sigma_{e}}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3\sigma_{e}}{\sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e}} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{0} - \sigma_{e} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{0}\alpha - \sigma_{e} \\ \end{matrix} \right) = $$ $$ = \left( \begin{matrix} \frac{3\sigma_{e}\left(\sigma_{0} - \sigma_{e}\right)}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3\sigma_{e}\left(\sigma_{0} - \sigma_{e}\right)}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3\sigma_{e}\left(\sigma_{0}\alpha - \sigma_{e}\right)}{\sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e}} \end{matrix} \right) = 0 $$

Из полученной системы уравнений ответ получается совершенно отличный от того, что в статье. Или я может что-нибудь не так делаю?

[Munin]

tibon в сообщении #893818 писал(а):

В статье все-таки пишут про "crystallite orientations", а не самого кристалла. Вы же сами цитату давали. Или я чего-то просто недопонимаю? :)

Это я недопонимаю. Перепутал существительное crystallite и прилагательное crystalline. Прошу пардону.

tibon в сообщении #893818 писал(а):

Вообще, закрадываются подозрения на счет верности соотношения - $ \hat{1} - \left(\hat{1}/3\sigma_{e}\right)\left(\hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1}\right) $ у нас же тут получается что слева от минуса стоит тензор 2-го ранга, а справа - тензор либо 0, либо 2, либо 4 ранга, в зависимости от того, будут ли свертки или не будут?

Может быть, правильно расставить шапочки так: $\hat{1}-(1/3\sigma_{e})(\hat{\sigma}-\sigma_{e}\hat{1}).$ А может быть, по умолчанию считается, что тензоры 2-го ранга при встрече сворачиваются в точности, как перемножаются матрицы. Это подкрепляется тем, что тензоры 2-го ранга при встрече с векторами - явно сворачиваются с ними.

tibon в сообщении #893818 писал(а):

Из полученной системы уравнений ответ получается совершенно отличный от того, что в статье. Или я может что-нибудь не так делаю?

Думаю, здесь как раз надо "усреднить по всем ориентациям", то есть, взять среднее от трёх величин, и приравнять его нулю, а не приравнивать их к нулю каждую по отдельности. Из-за приведения дробей к общему знаменателю, как раз должно квадратное уравнение получиться.

[tibon]

Munin в сообщении #893824 писал(а):

Думаю, здесь как раз надо "усреднить по всем ориентациям", то есть, взять среднее от трёх величин, и приравнять его нулю, а не приравнивать их к нулю каждую по отдельности. Из-за приведения дробей к общему знаменателю, как раз должно квадратное уравнение получиться.

Конечно! Как же я раньше не догадался...
Спасибо большое, все получилось :)

Ответ из статьи:

$$ x = \frac{1}{4} \left[ -3 + \left( 9 + 8\varepsilon \right)^{1/2} \right] $$ $$ x = \sigma_{e}/\sigma_{0} - 1, \varepsilon = \alpha - 1 $$ $$ \sigma_{e}/\sigma_{0} = 1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \left( 9 + 8\alpha - 8 \right)^{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left( 1 + 8\alpha \right)^{1/2} $$

Усреднение по ориентациям тензора:

$$ \left< \left[ \hat{1} + \frac{\hat{1}}{3\sigma_{e}} \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right]^{-1} \left( \hat{\sigma} - \sigma_{e}\hat{1} \right) \right> = 0, \hat{\sigma} = \sigma_{0} \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \\ \end{matrix} \right) $$ $$ 3\sigma_{e} \left< \left( \begin{matrix} \frac{\sigma_{0} - \sigma_{e}}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sigma_{0} - \sigma_{e}}{\sigma_{0} + 2\sigma_{e}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\sigma_{0}\alpha - \sigma_{e}}{\sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e}} \\ \end{matrix} \right) \right> = 0 $$ $$ \frac{ 2\left( \sigma_{0} - \sigma_{e} \right) \left( \sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e} \right) + \left( \sigma_{0}\alpha - \sigma_{e} \right) \left( \sigma_{0} + 2\sigma_{e} \right) } { \left( \sigma_{0} + 2\sigma_{e} \right) \left( \sigma_{0}\alpha + 2\sigma_{e} \right) } = 0 $$ $$ \sigma_{e}^{2} + \left( -\frac{1}{2}\sigma_{0} \right) \sigma_{e} + \left( -\frac{1}{2}\sigma_{0}^{2}\alpha \right) = 0 $$ $$ \sigma_{e} = \frac{1}{4}\sigma_{0} \pm \frac{1}{2} \left( \frac{\sigma_{0}^{2}}{4} + 2\sigma_{0}^{2}\alpha \right)^{1/2} $$ $$ \frac{\sigma_{e}}{\sigma_{0}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left( 1 + 8\alpha \right)^{1/2} $$