Здравствуйте!
В данный момент изучаю статью D. Stroud "Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material" (
ссылка).
В статье рассматривается проблема расчета эффективных характеристик неоднородной среды (в частности, электропроводности). приходят к таким соотношениям для тензора эффективной проводимости:

где

- некоторая постоянная сравнения,

,

- объемная доля фазы
Метод когерентного потенциала определяется с помощью:
В чем сам вопрос - после изложения теории рассматриваются некоторые примеры её применения, с ними и возникает загвоздка.
1) Двухфазная среда, сферические изотропные кристаллиты.
Одной фазе соответствует объемная доля

и её тензор проводимости

, вторая фаза -

и

,

- единичный тензор.
В данном случае

определяется как

, где

- символ Кронекера. (Расчет

могу привести, в случае необходимости, но это не относится напрямую к моему вопросу)
Из условия самосогласованности получим:
![$$ c\left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right) +
\left(1-c\right) \left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right) = 0$$ $$ c\left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{A} - \hat{\sigma}_{e} \right) +
\left(1-c\right) \left[ \hat{1} - \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right)\hat{\Gamma} \right]^{-1} \left( \hat{\sigma}_{B} - \hat{\sigma}_{e} \right) = 0$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/3/1e325e02a9be8d9b8d781faf87688e5a82.png)
из которого подстановкой

получим:

Данное выражение можно получить не рассматривая объекты как тензоры, а просто проведя несколько элементарных алгебраических действий, рассматривая их как константы (просто

и т.д.), но я сомневаюсь в правомерности таких действий. Возникает вопрос - такое можно сделать в силу того, что тензоры проводимости фаз представлены в виде "константа, умноженная на единичный тензор"? Нормальной подстановкой тензоров, свертками и т.д. - задачу решить не получается.
Также, в следующем примере в данной статье тензор проводимости фазы представлен уже не просто произведением константы и единичного тензора - там получить нужное выражение не получается никак совершенно (её могу привести чуть позже, сейчас вынужден отойти).
Различные книги, где рассматривают тензоры, читал (например, Коренев Г.В. "Тензорное исчисление", а также ряд других), но видимо что-то недоработал.
Хотелось бы услышать какие-нибудь наводящие мысли или, быть может, ссылки на литературу, где рассмотрено нечто подобное.
Заранее спасибо!