Теоретические задачи по дифференциальной геометрии

[aush]

Доброго времени суток!

Есть у меня несколько задачек. Они простые, теоретические и требуют, как я понимаю, только правильного понимания и способности сводить факты. Собственно, первая задача звучит так:



Рассмотрим конус $(u*cos(v),u*sin(v),u)$
$r_u=(cos(v),sin(v),1)$
$r_v=(-u*sin(v),u*cos(v),0)$
Первая квадратичная форма: $dr^2=2du^2+u^2dv^2$

Гауссову кривизну вычисляю по формуле $K=-\frac{1}{AB}*\left(\left(\frac{B_u}{A}\right)_u+\left(\frac{A_v}{B}\right)_v\right)$
Где $A=\sqrt{2}; B=u$

Итак, показали, что их гауссовы кривизны одинаковы и равны 0.

А вопрос у меня такой: либо это не так часто упоминается, либо я плохо искал, но почему из этого следует, что они локально изометричны (т.е. сам факт этот я знаю, но доказательства не видел)
Решено

Задача следующая:


Здесь у меня так решение начинается: Возьмем поверхность вращения $(f(u)*cos(v),f(u)*sin(v),u)$
Тогда длина дуги меридиана

$$s=\int\limits_{u_0}^{u_0+\tau}\sqrt{(f'(u))^2+1} du$$

Вопрос: как показать, что длина любой другой кривой - меньше?
Решено

И третья задача:


Тут я как-то совсем торможу - квадратичную форму чего и как надо вычислить?
Решено

Спасибо за внимание!)

[Sрy]

aush писал(а):

А вопрос у меня такой: либо это не так часто упоминается, либо я плохо искал, но почему из этого следует, что они локально изометричны (т.е. сам факт этот я знаю, но доказательства не видел)

Попробую предположить, это следует что из теоремы Гаусса("Гауссова кривизна не изменяется при изгибании") и из определений изометричных/локально изометричных поверхностей, изгибания и наложения.

[aush]

Sрy писал(а):

Попробую предположить, это следует что из теоремы Гаусса("Гауссова кривизна не изменяется при изгибании") и из определений изометричных/локально изометричных поверхностей, изгибания и наложения.

Так я о чем - это и есть сама по себе теорема Гаусса, по крайней мере в википедии английской:
"Gauss presented the theorem this way (translated from Latin):

Thus the formula of the preceding article leads itself to the remarkable Theorem. If a curved surface is developed upon any other surface whatever, the measure of curvature in each point remains unchanged.

In more modern language the theorem may be stated this way:

The Gaussian curvature of a surface is invariant under local isometry. "

Т.е. последняя формулировка как раз то, что нужно, просто я нигде не нашел ее доказательства...

[Gordmit]

Посмотрите здесь: http://www.ksu.ru/f5/shapukov/2-SURFACE.pdf - п.20.2, теорема 26 (плюс л.17, на нее там есть ссылка).

[aush]

Gordmit, Спасибо! Все, с этим разобрался.

Теперь остались 2-ая и 3-я ))

[Brukvalub]

aush писал(а):

И третья задача:
"3. Доказать, вычислив соответствующую первую квадратичную форму, что стереографическая проекция сохраняет углы между кривыми

Тут я как-то совсем торможу - квадратичную форму чего и как надо вычислить?

- см. формулу (25) в том же тексте

aush писал(а):

Вопрос: как показать, что длина любой другой кривой - меньше?

Выписать формулу длины произвольной кривой и сравнить ее с величиной уже выписанного Вами интеграла.

[aush]

Brukvalub писал(а):

aush писал(а):

И третья задача:
"3. Доказать, вычислив соответствующую первую квадратичную форму, что стереографическая проекция сохраняет углы между кривыми

Тут я как-то совсем торможу - квадратичную форму чего и как надо вычислить?

- см. формулу (25) в том же тексте

Да, я обратил внимание на эту формулу. Только не очень понял, как ей воспользоваться... Т.е. надо взять два произвольных пути на сфере и, воспользовавшись ее квадратичной формой, по формуле вычислить угол между ними. А дальше? Я так понимаю, надо определить во что переходят эти пути - как это определить для стереографической проекции?

Brukvalub писал(а):

aush писал(а):

Вопрос: как показать, что длина любой другой кривой - меньше?

Выписать формулу длины произвольной кривой и сравнить ее с величиной уже выписанного Вами интеграла.

Ну, эта мысль и мне пришла сразу)) Только вот я торможу на том как взять эту произвольную кривую. Должно быть, это что-то очевидное, но... Т.е. просто взять u=g(v), нет?

[Brukvalub]

aush писал(а):

Я так понимаю, надо определить во что переходят эти пути - как это определить для стереографической проекции?

Есть стандартные формулы для стереографической проекции. Воспользуйтесь ими: http://ilib.mccme.ru/plm/djvu/v53/directory.djvu

aush писал(а):

Только вот я торможу на том как взять эту произвольную кривую.

Можно задать ее параметрическии.

[aush]

Brukvalub писал(а):

Есть стандартные формулы для стереографической проекции. Воспользуйтесь ими: http://ilib.mccme.ru/plm/djvu/v53/directory.djvu

У меня по этой ссылке скачивается пустой дежавю файл... Вы эту книжку имели ввиду? - http://math.ru/lib/plm/53
Если да, то там, вроде, нет таких формул, я несколько раз пролистал...
Там на 13-ой странице есть само нужное доказательство, но там не используется первая квадратичная форма...

Brukvalub писал(а):

Можно задать ее параметрическии.

Понял, тогда первый интеграл перепишем как

$$s=\int\limits_{t_0}^{t_0+\tau}\sqrt{((f'(u))^2+1)*(u'(t))^2} dt$$

а второй будет

$$s=\int\limits_{t_0}^{t_0+\tau}\sqrt{((f'(u))^2+1)*(u'(t))^2+(f(u)*v'(t))^2} dt$$

и он, очевидно, больше первого. Правильно?

[Brukvalub]

aush писал(а):

Вы эту книжку имели ввиду?

Да.

aush писал(а):

Если да, то там, вроде, нет таких формул, я несколько раз пролистал...

Тогда их нетрудно вывести самому, используя определение стереографической проекции, зная уравнение прямой и плоскости.

aush писал(а):

и он, очевидно, больше первого. Правильно?

Неправильно. Он не меньше первого.

[aush]

Brukvalub писал(а):

Тогда их нетрудно вывести самому, используя определение стереографической проекции, зная уравнение прямой и плоскости.

Ну да, вроде несложно должно быть. Попробую.

Brukvalub писал(а):

Неправильно. Он не меньше первого.

Да, конечно=))

[нг]

aush
не пользуйтесь, пожалуйста, красным цветом. Он зарезервирован для модераторов.

[aush]

Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я понял решение про стереографическую проекцию:

Возьмем ур-ие сферы $(Rcos(u)cos(v), Rcos(u)sin(v), Rsin(u))$
По нему запишем первую квадратичную форму $ds^2=R^2du^2+R^2cos(u)^2dv^2$
Далее напишем уравнение прямой $(\alpha Rcos(u)cos(v), \alpha Rcos(u)sin(v), R+\alpha (Rsin(u)-R)$
И найдем ее пересечение с XY. Тогда $\alpha=\frac{1}{1-sin(u)}$
И уравнение проекции: $(\frac{Rcos(u)cos(v)}{1-sin(u)}, \frac{Rcos(u)sin(v)}{1-sin(u)},0)$
По этому ур-ию напишем первую квадратичную форму: $ds^2=\frac{1}{(1-sin(u))^2}(R^2du^2+R^2cos(u)^2dv^2)$

И тогда сравнение косинусов углов для кривых $u_1=u_1(t);v_1=v_1(t);u_2=u_2(t);v_2=v_2(t);$
даст $\frac{R^2u_1'u_2'+R^2cos(u)^2v_1'v_2'}{\sqrt{R^2u_1'^2+R^2cos(u)^2v_1'^2}\sqrt{R^2u_2'^2+R^2cos(u)^2v_2'^2}}=\frac{\frac{1}{(1-sin(u))^2}(R^2u_1'u_2'+R^2cos(u)^2v_1'v_2')}{\sqrt{\frac{1}{(1-sin(u))^2}(R^2u_1'^2+R^2cos(u)^2v_1'^2)}\sqrt{\frac{1}{(1-sin(u))^2}(R^2u_2'^2+R^2cos(u)^2v_2'^2)}}$
Сокращаем вторую дробь на $\frac{1}{(1-sin(u))^2}$ и получаем верное равенство.

Правильно?

[Brukvalub]

Да.

[aush]

Прикольно)) Спасибо за помощь!