Таблица из делителей числа

[Ktina]

Можно ли все делители натурального числа $n$ расставить в клетках таблицы $3\times 3$ так, чтобы суммы чисел во всех строках таблицы были одинаковы?

Я думаю, что нет. Действительно, в одной из строк таблицы должно стоять, кроме всего прочего, само число $n$, поэтому сумма чисел в этой строке (а следовательно и в кааждой из остальных) не меньше $n$.
С другой стороны, если все делители в строке меньше $\dfrac{n}{2}$, то сумма чисел в строке будет меньше $n$. Таким образом, в кааждой строке должен стоять делитель, который не меньше $\dfrac{n}{2}$, но таких делителей только два (или вообще один, но это - чаастный случай), а строк - три. Противоречие.

Страанно на этом фоне выглядит аавторское решение:


Зачем столько громоздких вычислений?

[iifat]

Ktina в сообщении #891963 писал(а):

если все делители в строке меньше $\dfrac{n}{2}$, то сумма чисел в строке будет меньше $n$

Вообще-то, если три числа меньше $\dfrac{n}{2}$ каждое, то сумма меньше $\dfrac{3n}{2}$, нет?

[Ktina]

iifat в сообщении #891972 писал(а):

Ktina в сообщении #891963 писал(а):

если все делители в строке меньше $\dfrac{n}{2}$, то сумма чисел в строке будет меньше $n$

Вообще-то, если три числа меньше $\dfrac{n}{2}$ каждое, то сумма меньше $\dfrac{3n}{2}$, нет?

Если три делителя меньше $\dfrac{n}{2}$, то они не больше $\dfrac{n}{3}$.

[patzer2097]

Автор решения неправ еще и в том, что $\sum_{i=k}^9 n/k+1$ - это максимальное возможное значение суммы делителей. Очевидно, что это значение не достигается ни при каком $n$.

Еще в третьей строке снизу в авторском решении опечатка - пропущена запятая перед "не".

Я даже допускаю вероятность того, что в авторском решении есть и другие недостатки.

[Ktina]

patzer2097 в сообщении #891980 писал(а):

Еще в третьей строке снизу в авторском решении опечатка - пропущена запятая перед "не".

Ну да, причаастный обормот

[Shadow]

Ktina, а можно ли все собственные делители натурального числа расставить в клетках таблицы $3\times 3$...(все делители без самого n)?

[Ktina]

Shadow в сообщении #892017 писал(а):

Ktina, а можно ли все собственные делители натурального числа расставить в клетках таблицы $3\times 3$...(все делители без самого n)?

Пока не знааю. Наверное, нельзя.

[Shadow]

У числа $n$ 10 делителей (9 собственных)

Первый случай: $n=p^9, \quad p \in P$
Собственные делители: $1,p,p^2\cdots p^8$. Сумма чисел в той строке и в том столбце, где единичка, не будет делится на $p$, в отличии от остальных.

Второй случай...