Квантовая механика.Коллапс волновой функции.

[g______d]

Prikol в сообщении #891854 писал(а):

Эта ваша "cкорость распространения решений" существует только для линейных УЧП без дисперсии, например $U_{tt} - U_{xx} = 0$

Для общих УЧП под этим понимается максимальная возможная скорость. Наверняка можно придумать уравнение с дисперсией, у которого, тем не менее, скорость распространения решений ограничена.

Prikol в сообщении #891854 писал(а):

При этом нельзя говорить, что скорость бесконечна, но можно говрить, что спектр не ограничен сверху.

Все так говорят; имея в виду, впрочем, именно неограниченность спектра возможных скоростей. Если не верите, можете поискать "infinite propagation speed" в google или в учебниках по PDE.

-- Ср, 30 июл 2014 06:37:18 --

Munin в сообщении #891853 писал(а):

Ну, не в большей степени, что и классическая механика.

Меня устраивает в той же степени, что и классическая механика.

[Munin]

g______d в сообщении #891862 писал(а):

Наверняка можно придумать уравнение с дисперсией, у которого, тем не менее, скорость распространения решений ограничена.

Что придумывать: уравнения Клейна-Гордона, Дирака, Прока́ (= Максвелл с массой). Можно взять уравнения для электронов и фононов в кристалле с феноменологической дисперсионной зависимостью, они там тоже имеют ограниченную скорость (уклон дисперсионной зависимости не выше некоторого максимума, физически для фононов - скорость звука в кристалле).

g______d в сообщении #891862 писал(а):

Меня устраивает в той же степени, что и классическая механика.

Договорились :-)

[Prikol]

g______d в сообщении #891758 писал(а):

Это детский сад какой-то, который работает только для уравнений с постоянными коэффициентами, для которых ответ и так очевиден.

Вы делаете много слишком общих утверждений и не доказываете их.
Вот вам простой вопрос. Дано УЧП с постоянными коэффициентами.

$a U_{t} + b U_{tt} + c U_{x} + d U_{xx} + g U_{y} + h U_{yy} + p U + q = 0$

Дайте свой "очевидный ответ" так, чтобы даже школьнику стало очевидно. Полагаем, что школьник понимает что такое производная.

[g______d]

Prikol в сообщении #891873 писал(а):

Дайте свой "очевидный ответ" так, чтобы даже школьнику стало очевидно. Полагаем, что школьник понимает что такое производная.

С "очевидным" я, наверное, погорячился. Более правильно будет "хорошо известный". Все варианты мне рассматривать не очень хочется, но в двумерном случае УЧП с постоянными коэффициентами, для которых корректно ставится задача Коши, немного, и все они сводятся к стандартным, для которых скорость распространения известна.

А по поводу метода подстановки плоской волны у меня вопрос к Вам: позволяет ли он на элементарном уровне получить строгое доказательство конечности скорости распространения решения задачи Коши для волнового уравнения? В точном смысле, который я написал выше (т. е. полное отсутствие корреляций между достаточно удалёнными точками, или оценка на рост носителя решения задачи Коши с начальным данным с компактным носителем).

Самый элементарный метод, который я знаю, – это точно решить задачу Коши с начальным данным $\delta(x)$ (два раза Фурье), получится некая спец. функция, над которой можно помедитировать и увидеть, что она равна нулю вне шара. Есть ещё рассуждение со световым конусом и энергетическим тождеством, стандартное для университетского курса матфизики. А для уравнений с переменными коэффициентами это целая наука, достаточно сложная.

[Munin]

Prikol в сообщении #891873 писал(а):

Дано УЧП с постоянными коэффициентами.
$a U_{t} + b U_{tt} + c U_{x} + d U_{xx} + g U_{y} + h U_{yy} + p U + q = 0$
Дайте свой "очевидный ответ" так, чтобы даже школьнику стало очевидно.

Здесь, очевидно, надо привести квадратичную функцию

$$at+bt^2+cx+dx^2+gy+hy^2+p$$

к каноническому виду, и потом сделать аналогичную замену переменных для дифференциальных операторов. Получится какое-то гиперболическое или эллиптическое уравнение, в вырожденных случаях параболическое, в ещё более вырожденных - ещё более простая экзотика.

-- 30.07.2014 22:29:43 --

g______d в сообщении #891917 писал(а):

А для уравнений с переменными коэффициентами это целая наука, достаточно сложная.

Какие-то локальные выводы можно сделать, глядя на коэффициенты в выбранной точке.

[warlock66613]

Munin в сообщении #891266 писал(а):

Это доказательство само основывается на предположении, что коллапс "сверхсветовой". (Или нелокальные скрытые параметры, что не менее неприятно.)

Всё так, но тема с активным участием Prikol не место чтобы это обсуждать, ИМХО. Поэтому, я считаю, что g______d неправ, сомневаясь в мгновенности коллапса в релятивистском случае. Ну не подходящая эта тема для этого.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #891931 писал(а):

Поэтому, я считаю, что g______d неправ, сомневаясь в мгновенности коллапса в релятивистском случае. Ну не подходящая эта тема для этого.

Можно другую тему завести. Скажем, не в "ДТ(Ф)" вообще.

Но вообще, состояние дел с коллапсом и релятивизмом таково, что мы не знаем, как они соотносятся. Эксперименты показывают, что чудесно: коллапс происходит всегда как будто мгновенно. Теория этому не противоречит. Но идеи насчёт origins коллапса затрудняются это объяснить.

[warlock66613]

Munin в сообщении #891947 писал(а):

Можно другую тему завести.

Можно, но я заводить не буду: я ещё с декогеренцией не разобрался. $\text{:-)}$.

[Prikol]

g______d в сообщении #891917 писал(а):

Prikol в сообщении #891873 писал(а):

Дайте свой "очевидный ответ" так, чтобы даже школьнику стало очевидно. Полагаем, что школьник понимает что такое производная.

С "очевидным" я, наверное, погорячился. Более правильно будет "хорошо известный". Все варианты мне рассматривать не очень хочется, но в двумерном случае УЧП с постоянными коэффициентами, для которых корректно ставится задача Коши, немного, и все они сводятся к стандартным, для которых скорость распространения известна.

Вот вы и проговорились, что у вас нет альтернативного "очевидного" метода, а есть лишь небольшой набор готовых уравнений для которых кто-то задолго до вас нашел ответы.

А между тем, метод пробных волн позволяет много сказать о решениях произвольного уравнения, увидеть например в данном двумерном случае пространственную анизотропию, найти главные оси соответствующего эллипса и т.д. И все это путем одной только алгебры.

g______d в сообщении #891917 писал(а):

по поводу метода подстановки плоской волны у меня вопрос к Вам: позволяет ли он на элементарном уровне получить строгое доказательство конечности скорости распространения решения задачи Коши для волнового уравнения?

Если вы волновым уравнением называете простейшие уравнения из курса матфизики для студентов, то в ряде случаев - да.

Но в реальных волновых уравнениях взятых "из жизни", где есть хотя бы дисперсия, все ломается и скорость нередко "пытается" превысить "с". Приходится накладывать дополнительные ограничения на материальную, т.е. невакуумную часть задачи.

g______d в сообщении #891917 писал(а):

В точном смысле, который я написал выше (т. е. полное отсутствие корреляций между достаточно удалёнными точками, или оценка на рост носителя решения задачи Коши с начальным данным с компактным носителем).

Контрпримеры показывают, что компактности носителя в пространстве может быть недостаточно, но при компактности фурье образа в спектральном пространстве - может быть.

g______d в сообщении #891917 писал(а):

А для уравнений с переменными коэффициентами это целая наука, достаточно сложная.

При мелком погружении это будет примерно как задача на собственные значения и задача рассеяния из ЛЛ-3 с некоторыми даже готовыми решениями.

При более глубоком погружении это спектральная теория операторов практически без готовых решений и без методов их нажождения, но зато с длинными разговорами о каких-то второстепенных свойствах этих решений.

[g______d]

Prikol в сообщении #891950 писал(а):

Контрпримеры показывают, что компактности носителя в пространстве может быть недостаточно

Для (обычного) волнового уравнения это верно. А показывает ли это метод пробных волн?

Prikol в сообщении #891950 писал(а):

но при компактности еще и фурье образа в спектральном пространстве

Одновременно компактности носителя (ненулевой) функции и фурье-образа не бывает. Соотношение неопределённостей.

[Oleg Zubelevich]

Соотношение неопределенностей ,однако. А я думал, что это потому, что Фурье-образ функции с компактным носителем есть функция целая.

[Prikol]

g______d в сообщении #891953 писал(а):

Prikol в сообщении #891950 писал(а):

Контрпримеры показывают, что компактности носителя в пространстве может быть недостаточно

Для (обычного) волнового уравнения это верно. А показывает ли это метод пробных волн?

У меня нет под рукой готовой теоремы, но так, навскидку, если исходная задача корректно решается методом Фурье преобразований, то метод пробных волн вроде тоже должен сработать. Он как бы маленький кусочек от Фурье преобразования. Надо проверять.

g______d в сообщении #891953 писал(а):

Одновременно компактности носителя (ненулевой) функции и фурье-образа не бывает.

В подобных задачах, например в спектральной теории операторов, часто вводится более общее свойство напоминающее классическую компактность. Функция имеет "разумный" вид в некоторой конечной области (эта область аналог компакта), а за пределами этой области достаточно быстро убывает по степенному, экспоненциальному или другому нужному закону. При этом удается наложить ограничения одновременно и на функцию и на ее фурье образ, но не слишком жесткие конечно по скорости убывания. В этом случае возможные решения становятся более "хорошими" в физическом смысле. Без этих ограничений могут возникать всякие нежелательные "эффекты" вроде бесконечных скоростей сигналов.

Но вообще-то для наложения ограничения на скорость сигналов компактность Фурье образа важнее. А компактность самого начального условия это просто удобное НУ которое позволяет быстро сказать что и куда успело добежать через некоторое конечное время. Если это условие вообще отбросить, то просто нужен будет альтернативный метод нахождения скорости распространения возмущений.

[chislo_avogadro]

Извините, что я не будучи знаком, но... хочу попытаться экстрагировать взгляд Фейнмана на этот вопрос из популярной КЭД-странная теория...
Вот он пишет в сноске -

Цитата:

волновая теория предсказала,
что «щелчки» фотоумножителя будут становиться все
тише и тише, в то время как они сохраняли полную силу, и только
раздавались все более редко. Ни одна разумная модель не могла
объяснить этот факт, поэтому наступил период, требовавший извест-
ной хитрости. Надо было знать, какой эксперимент вы анализируе-
те, чтобы сказать, что такое свет — волны или частицы. Эта путани-
ца была названа «корпускулярно-волновым дуализмом» света, ...
Цель этих лекций — рассказать о том, как эта загадка была в конце концов «разрешена».

Т.е., утверждается, что КЭД решила "загадку" «корпускулярно-волнового дуализма».
А этот последний, как я понимаю, имеет прямое отношение к коллапсу волновой функции.
Видимо, само представление о волновой функции является источником проблемы.
Фейнман волновую функцию нигде в лекции не упоминает. Есть подозрение, что вообще нигде.

Вот ещё хороший намёк -

Цитата:

Надо подчеркнуть, что независимо от того,
сколько стрелок мы рисуем, складываем или умножаем,
наша цель — получить единственную результирующую
стрелку всего события. Студенты-физики поначалу часто
совершают ошибки, так как упускают из виду этот важный
момент. Они так долго трудятся над анализом событий,
в которых участвует единственный фотон, что начинают
считать, будто стрелка как-то связана с самим фотоном.
Но эти стрелки представляют собой амплитуды вероятнос-
ти, дающие, при возведении их в квадрат, вероятность
всего события целиком *).
*) Надо помнить об этом принципе, чтобы не прийти в замеша-
тельство, столкнувшись с «редукцией волнового пакета» и тому по-
добной магией.

Здесь "начинают считать, будто стрелка как-то связана с самим фотоном", видимо, можно переформулировать как - "будто волновая функция как-то связана с самим фотоном".

[g______d]

Prikol в сообщении #891959 писал(а):

В подобных задачах, например в спектральной теории операторов, часто вводится более общее свойство напоминающее классическую компактность. Функция имеет "разумный" вид в некоторой конечной области (эта область аналог компакта), а за пределами этой области достаточно быстро убывает по степенному, экспоненциальному или другому нужному закону. При этом удается наложить ограничения одновременно и на функцию и на ее фурье образ, но не слишком жесткие конечно по скорости убывания. В этом случае возможные решения становятся более "хорошими" в физическом смысле. Без этих ограничений могут возникать всякие нежелательные "эффекты" вроде бесконечных скоростей сигналов.

Приведите пример, пожалуйста. Скорость распространения – это локальное свойство решений УЧП, и к спектральной теории (которая занимается глобальными свойствами) имеет только непрямое отношение.

Prikol в сообщении #891959 писал(а):

Но вообще-то для наложения ограничения на скорость сигналов компактность Фурье образа важнее.

Для наложения – да. Но у нас вроде как цель не наложить ограничения, а узнать, имеет ли место эффект вообще.

Prikol в сообщении #891959 писал(а):

это просто удобное НУ которое позволяет быстро сказать что и куда успело добежать через некоторое конечное время.

Ответ на вопрос "что и когда успело добежать за конечное время" – это и есть ответ на вопрос о максимальной скорости распространения решений.

Ну если так не нравится компактность, то можно взять любое решение, которое Вам нравится, поменять его в окрестности какой-то точки и посмотреть, как быстро будет распространяться это изменение. Только нет никакой разницы, возмущать какое-то данное решение или нулевое решение, можно просто вычесть разницу.

Prikol в сообщении #891959 писал(а):

У меня нет под рукой готовой теоремы, но так, навскидку, если исходная задача корректно решается методом Фурье преобразований

С трудом. Кроме того, метод Фурье существенно использует глобальную трансляционную инвариантность уравнения (постоянство коэффициентов) и разваливается, как только коэффициенты становятся переменными. Можно их пытаться "замораживать", но точные результаты получать всё сложнее. Тем не менее, есть общий факт, что если в волновом уравнении оператор Лапласа заменить на какой-то эллиптический оператор с переменными старшими коэффициентами (например, оператор с нетривиальной римановой метрикой), то всё равно решения будут распространяться с конечной скоростью, если расстояния измерять вдоль геодезических. Методом Фурье такое уже точно не доказать.

-- Ср, 30 июл 2014 14:47:35 --

Oleg Zubelevich в сообщении #891958 писал(а):

Соотношение неопределенностей ,однако. А я думал, что это потому, что Фурье-образ функции с компактным носителем есть функция целая.

Ну он как-то так и доказывается, просто класс таких теорем удобно называть.

[Prikol]

Prikol в сообщении #891959 писал(а):

g______d в сообщении #891953 писал(а):

компактности носителя (ненулевой) функции и фурье-образа

В подобных задачах, например в спектральной теории операторов, часто вводится более общее свойство напоминающее классическую компактность. Функция имеет "разумный" вид в некоторой конечной области (эта область аналог компакта), а за пределами этой области достаточно быстро убывает по степенному, экспоненциальному или другому нужному закону. При этом удается наложить ограничения одновременно и на функцию и на ее фурье образ, но не слишком жесткие конечно по скорости убывания.

При этом принцип неопределенности Харди, который вы привели, как раз накладывает ограничение на скорость такого совместного убывания функции и ее образа.

А то, о чем сказал Oleg Zubelevich - это крайний случай - функция убывает предельно быстро, ее образ - как скажет теорема.

-- 31.07.2014, 02:45 --

g______d в сообщении #891974 писал(а):

Приведите пример, пожалуйста. Скорость распространения – это локальное свойство решений УЧП, и к спектральной теории (которая занимается глобальными свойствами) имеет только непрямое отношение.

Подобными задачами я занимался в частности применительно к теории солитонов. В них спектр оператора, точнее некоторые его характеристики, прямо "загоняется" в интегральное уравнение из которого и получается решение. Для того, чтобы это уравнение решалось как надо и накладывается условие достаточно быстрого убывания за пределами некоторой небольшой области. При этом вид спектра оператора и вид решения очень тесно связаны.

g______d в сообщении #891974 писал(а):

Ну если так не нравится компактность, то можно взять любое решение, которое Вам нравится, поменять его в окрестности какой-то точки и посмотреть, как быстро будет распространяться это изменение. Только нет никакой разницы, возмущать какое-то данное решение или нулевое решение, можно просто вычесть разницу.

По-моему мы пытаемся обсуждать сразу несколько вопросов, причем некоторые из них могут оказаться побочными. Что если мы выделим главное:

1. Дано УЧП с постоянными коэффициентами.
2. Надо найти скорость распространения всяких возмущений, сигналов в рамках этого уравнения.
3. Есть прямой метод - подставить в уравнение небольшое локализованное в пространстве возмущение.
Недостатки.
а) Надо решать УЧП.
б) Возмущение недостаточно общее, мы одним возмущением можем не охватить те условия, когда скорость убежит в бесконечность.
4. Есть не такой прямой метод - пробные волны. Достоинства - нужна только алгебра. Весь диапазон Фурье компонент сразу обозрим. Недостаток - неясно насколько он общий.
5. Есть обобщение метода - метод медленно меняющихся амплитуд. Перед экспонентой стоит амплитуда - медленная функция по сравнению с экспонентой. Этот метод уже более общий, чем пробная волна. И как будто дает все, что необходимо. Причем уравнение для амплитуды решать не обязательно. Остается опять только алгера.

g______d в сообщении #891974 писал(а):

Кроме того, метод Фурье существенно использует глобальную трансляционную инвариантность уравнения (постоянство коэффициентов) и разваливается, как только коэффициенты становятся переменными. Можно их пытаться "замораживать", но точные результаты получать всё сложнее.

Если коэффициенты непостоянны - это задача рассеяния. Кстати, после того, как задачу рассеяния стали решать применительно к теории солитонов, попутно нашли всякие новые решения и для этой задачи.