Несобственный интеграл.

[main.c]

Нужно исследовать на сходимость несобственный интеграл: $\int\limits_{0}^{2}\frac{1}{\ln x} dx$.
Не совсем понимаю, как тут быть. Неопределённый интеграл тут не берётся. Можно ли рассуждать так?
$ \forall x \in (0, 1): \ 0 > \frac{1}{x-1} \geq \frac{1}{\ln x}$
Интеграл $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x-1} dx$ - расходящийся, а значит $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\ln x} dx$ тоже расходящийся, со второй частью те же самые рассуждения. Дело в том, что у нас не было такой теоремы, но мне кажется, что она очевидна.

[demolishka]

Во-первых, второе неравенство в другую сторону. Из того что интеграл, больший по модулю площади, расходится не следует, что меньший по модулю площади расходится.

[Otta]

А зачем какие-то рассуждения со второй частью, если бы Вы выяснили, что по крайней мере одна расходится? Вам определение надо повторить, когда интеграл сходящийся, а когда расходящийся.

И не надо тут через неравенства, поломаетесь.

[main.c]

demolishka в сообщении #891464 писал(а):

Во-первых, второе неравенство в другую сторону. Из того что интеграл, больший по модулю площади, расходится не следует, что меньший по модулю площади расходится.

Я тут утверждаю, что если интеграл, меньший по модулю площади расходится, следует, что больший по модулю площади интеграл расходится, а не наоборот.

Otta в сообщении #891466 писал(а):

А зачем какие-то рассуждения со второй частью, если бы Вы выяснили, что по крайней мере одна расходится? Вам определение надо повторить, когда интеграл сходящийся, а когда расходящийся.

И не надо тут через неравенства, поломаетесь.

То есть $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 1/x \neq 0$? А как тут тогда быть, если не через неравенства, интеграл ведь не берётся?

[Aritaborian]

main.c в сообщении #891470 писал(а):

То есть $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 1/x \neq 0$?

Ага. Он расходится. Вы как-то неверно представляете себе сходимость-расходимость.

[Otta]

main.c в сообщении #891470 писал(а):

Я тут утверждаю, что если интеграл, меньший по модулю площади расходится, следует, что больший по модулю площади интеграл расходится, а не наоборот.

А Вам отвечают, что неравенство неверное. Вы в нем к пределу при $x\to 0$ перейдите.

main.c в сообщении #891470 писал(а):

То есть $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} 1/x \neq 0$?

Да, он расходится. Сходится в смысле главного значения, если Вам эти слова известны.

main.c в сообщении #891470 писал(а):

А как тут тогда быть, если не через неравенства, интеграл ведь не берётся?

А какие еще признаки сравнения Вы знаете?

[demolishka]

main.c в сообщении #891470 писал(а):

Я тут утверждаю, что если интеграл, меньший по модулю площади расходится, следует, что больший по модулю площади интеграл расходится, а не наоборот.

Цитата:

Интеграл $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x-1} dx$ - расходящийся

Он - больший по МОДУЛЮ площади.

Цитата:

а значит $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\ln x} dx$ тоже расходящийся

Он - меньший по МОДУЛЮ площади.

А всё потому, что

Цитата:

второе неравенство в другую сторону

[main.c]

demolishka в сообщении #891475 писал(а):

main.c в сообщении #891470 писал(а):

Я тут утверждаю, что если интеграл, меньший по модулю площади расходится, следует, что больший по модулю площади интеграл расходится, а не наоборот.

Цитата:

Интеграл $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x-1} dx$ - расходящийся

Он - больший по МОДУЛЮ площади.

Цитата:

а значит $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\ln x} dx$ тоже расходящийся

Он - меньший по МОДУЛЮ площади.

А всё потому, что

Цитата:

второе неравенство в другую сторону

Да, Вы правы, это всё невнимательность.

Otta в сообщении #891474 писал(а):

Да, он расходится. Сходится в смысле главного значения, если Вам эти слова известны.

По определению в моих лекциях, интеграл сходится, если предел существует и конечен, если нет, то расходится. Считаю предел:
$I = \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{1}{x} dx + \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim\limits_{x \to 0} \ln|x| - \lim\limits_{x \to -\infty} \ln|x| + \lim\limits_{x \to +\infty} \ln|x| - \lim\limits_{x \to 0} \ln|x| = 0$.

Otta в сообщении #891474 писал(а):

А какие еще признаки сравнения Вы знаете?

Ещё я знаю предельный признак сравнения.

[Otta]

Ну и чему же равен предел логарифма в нуле?

[main.c]

Otta в сообщении #891525 писал(а):

Ну и чему же равен предел логарифма в нуле?

$- \infty$

[Otta]

Так. И откуда же там этот ноль?

[main.c]

Otta в сообщении #891530 писал(а):

Так. И откуда же там этот ноль?

Как откуда?
$I = \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{1}{x} dx + \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim\limits_{x \to 0} \ln|x| - \lim\limits_{x \to -\infty} \ln|x| + \lim\limits_{x \to +\infty} \ln|x| - \lim\limits_{x \to 0} \ln|x| = \lim\limits_{x \to 0} (\ln|x| - \ln|x|) + \lim\limits_{x \to +\infty} (\ln|x| - \ln|x|) = 0$.
Видимо я что-то забыл по пределам, если это неверно.

[mihaild]

Сумму пределов в общем случае можно заменять пределом суммы только если хотя бы один из пределов конечен.

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} + 1\right)$

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} + 1 - \frac{1}{x}\right) = 0$

$\lim\limits_{x \to 0} 1 = 0$

$1 = 0$

[Aritaborian]

main.c, слова «неопределённость» и «раскрытие неопределённости» вам о чём-нибудь говорят?

[main.c]

Aritaborian в сообщении #891548 писал(а):

main.c, слова «неопределённость» и «раскрытие неопределённости» вам о чём-нибудь говорят?

Да, как быть со вторым интегралом я уже понял, раскрою и посмотрю, что получилось, а с первым мне не ясно, как быть.