Простые группы Ли и простые алгебры Ли

[_Er]

Всем желаю счастья и здоровья!

Стоит такая задача: для групп $SO(n), SU(n)$ показать, что единственной нетривиальной нормальной подгруппой в этих группах является центр группы. То есть, фактически, если $H$ – нормальная подгруппа ($\forall U \in SU(n), \forall h \in H: UhU^\dag \in H$), то $\forall h \in H, \forall U \in SU(n): hU=Uh$.

Во-первых, на всякий случай, хочу уточнить у тех, кто разбирается: это действительно так? Просто задачу поставил себе сам в ходе решения другой задачи. Мало ли, вдруг я зря пытаюсь.

Ну и, во-вторых, как это можно показать? Я сначала пробовал напрямую какими-то преобразованиями вывести, что, если $UhU^\dag=h'$, то $h'=h$ или сразу, что $\forall g \in SU(n): hg=gh$, но потом решил, что это гиблое дело, т.к. фактически унитарность матриц $U$ при таких преобразованиях нигде не используется (они все верны и для произвольных матриц, достаточно всюду заменить $U^\dag$ на $U^{-1}$). Еще был вариант такой: когда я раньше описывал центры этих групп, то, диагональность элементов центра я показывал домножая какие-то две строки $i_1,i_2$ матрицы $U$ на $-1$ (обозначим новую матрицу как $U'$, такая матрица снова лежит в $SU(n)$ – свойства группы для нее сохраняются): при этом если $i \ne i_\alpha$ то $(U'V)_{ij}=(UV)_{ij}$, а $(VU')_{ij}$ вообще говоря не равно $(VU)_{ij}$ – приравнивая $(VU')_{ij}$ к $(VU)_{ij}$ и подставляя все возможные $i_1,i_2$ получаем, что $V$ – диагональная матрица. Вот что-то подобное я хотел сделать и здесь. Много чего пробовал. Из самых последних попыток: пытался показать, что если, например, $h=Uh_1U^\dag$, то полагая $h'=U'h_1(U')^\dag$ получим какое-то небольшое различие между $h$ и $h'$ и тогда из того, что, если $h\in H$ следует, что и $h'\in H$ можно будет учтя свойства группы $SU(n)$ какие-то ограничения на $h$. Очевидно, ничего у меня не вышло, раз я здесь. Не уверен даже, что все это не было заранее обречено на провал.

В общем, хотел бы узнать действительно ли то, что я пытаюсь доказать, верно. Если верно – буду рад любой помощи.
Кстати, оригинальная задача была такая: показать, что $SU(n), n=2,3,...$ и $SO(n), n=5,6,...$ – простые группы. С ней я пока тоже не разобрался.

[_Er]

Если у кого-нибудь есть идеи по поводу того, как показать простоту групп $SO(n), SU(n)$ или простоту соответствующих им алгебр – тоже буду рад выслушать.

[type2b]

чтобы показать, что для простой группы Ли всякая нормальная подгруппа лежит в центре, надо показать, что для любого нецентрального элемента орбита относительно аджойнта имеет компоненту ненулевой размерности. Я не знаю, есть ли простое доказательство, но гугление выдало, например, вот эту статью.

[_Er]

type2b в сообщении #890915 писал(а):

чтобы показать, что для простой группы Ли всякая нормальная подгруппа лежит в центре, надо показать, что для любого нецентрального элемента орбита относительно аджойнта имеет компоненту ненулевой размерности. Я не знаю, есть ли простое доказательство, но гугление выдало, например, вот эту статью.

type2b, здесь задача несколько иная. Во-первых, она стоит только для двух частных групп $SO(n)$ и $SU(n)$. Во-вторых, они не предполагаются простыми. Т.е. их простота в доказательстве не должна использоваться. Но в этой теме, кстати, стоит еще отдельная задача: показать простоту групп $SO(n), SU(n)$ или их алгебр $so(n), su(n)$. Но вообще, мне кажется, что должно быть какое-то простое решение этих задач (про то, что нормальная подгруппа в $SO(n), SU(n)$ – только центр, и про то, что обе эти группы\алгебры просты). "Простое" в том смысле, что для него достаточно лишь базовых свойств этих групп (унитарности и единичного определителя) и алгебр (антиэрмитовости). Одно из оснований для такого мнения: задача показать простоту групп дана в конце 3-й главы книги Рубакова – в этой главе только основные факты о группах и алгебрах Ли. Да и когда я искал что-то по этой задаче в других источниках – везде она приводилась в качестве упражнения практически сразу после определения простой группы. Значит, наверное, она не считается сложной. Кстати, когда я искал хоть что-нибудь по этой задаче я пересмотрел целое ведро статей и книг – везде говориться одно и то же: то, что эти группы простые – известный факт. Но нигде я не нашел ни слова о доказательстве этого. Ну может, конечно, я просто не умею пользоваться поиском в интернете.

[type2b]

группа Ли простая, если она не содержит непрерывных нормальных подгрупп. В обход этого более простого утверждения Вы хотите доказать более сильное: всякая нормальная подгруппа не только дискретна, но и содержится в центре. Я не думаю, что даже для частных случаев есть иной способ доказательства, кроме того, который я привел, и который использует более простое утверждение, т.е. простоту.
Для унитарной и ортогональной группы доказать полупростоту легко -- форма Киллинга невырождена. Чтобы доказать простоту (не пользуясь теорией корней и весов), я думаю, надо показать, что инвариантная форма на алгебре с точностью до умножения на число единственна (для тех групп, которые действительно простые, т.е. не SO(4)).

[_Er]

type2b в сообщении #890989 писал(а):

В обход этого более простого утверждения Вы хотите доказать более сильное: всякая нормальная подгруппа не только дискретна, но и содержится в центре.

Мне кажется, что конкретно для этих двух групп этот факт должен как-то доказываться без привлечения более сложных теорий. Кстати о дискретности и непрерывности я ничего не говорил. Все что я хотел показать, что если элемент этой группы лежит в нормальной подгруппе, то он коммутирует со всеми. Мне кажется, что здесь должен быть какой-то способ.

type2b в сообщении #890989 писал(а):

Для унитарной и ортогональной группы доказать полупростоту легко -- форма Киллинга невырождена. Чтобы доказать простоту (не пользуясь теорией корней и весов), я думаю, надо показать, что инвариантная форма на алгебре с точностью до умножения на число единственна (для тех групп, которые действительно простые, т.е. не SO(4)).

Еще раз повторю, что я совсем недавно познакомился с группами и мои представления о них пока еще очень поверхностны. Поэтому большая часть того, что вы говорите здесь мне непонятна. О некоторых вещах я вообще слышу впервые.

И все же, мне кажется, должен быть какой-то способ показать простоту или доказать мое более сильное утверждение, основываясь на самых базовых знаниях об этих группах/алгебрах.

[type2b]

попробуйте. НапишИте, если получится