Простой вопрос

[BoBuk]

Вопрос очень простой. Может быть знающие люди помогут разобраться?
Берём
$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b$
По известному в математике правилу, показатели степеней 1/b и b перемножаются. Так? Или я ошибаюсь?
То есть, всё это можно записать, как
$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b = a$
Так? Или не так?

-- Пн июл 28, 2014 10:07:40 --

А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

[Otta]

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):

А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

И что там с ними, кроме разницы в областях определения?

[mihailm]

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):

...По известному в математике правилу...

В математике оно действительно известно

[Shtorm]

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):

$\left( a^\frac{1}{b}\right)^b = a$
Так? Или не так?

Истинно так! При работе с числами и с обычными выражениями. (обычными - в смысле не функциями).

BoBuk в сообщении #890817 писал(а):

А если так, то сравниваем два графика функций
$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$
и
$f(x) = x$

К сообщению Otta, добавлю, что при работе с функциями, всегда нужно учитывать в каком виде изначально они даны. Ваш вопрос, сродни вопросу, а почему графики функций $y=x+2$ и $y=\frac{x^2-4}{x-2}$ немного отличаются? Да потому, что первая функция непрерывна, а вторая имеет точку разрыва. А в остальном один в один. А в Вашем случае, не просто точка разрыва, а область определения меняется.
Просто таковы свойства функций - для вычисления значения функции в точке, нужно проделать всю последовательность операций, записанных в правой части функции. Если же мы хотим сократить, упросить правую часть функции, то необходимо это делать с математической строгостью.

$$\left(x^{1/x}\right)^x=x,&\text{если $x>0$;}$$

[BoBuk]

Область определения: от минус бесконечности, до плюс бесконечности.

[Otta]

BoBuk в сообщении #890841 писал(а):

Область определения: от минус бесконечности, до плюс бесконечности.

У второй функции.

[BoBuk]

А у первой что?

[Otta]

Вот да, а у первой что? Какова область определения функции $y=x^{1/x}$?

[BoBuk]

Otta в сообщении #890847 писал(а):

Вот да, а у первой что? Какова область определения функции $y=x^{1/x}$?

Первая, это вот эта

$f(x) = \left( x^\frac{1}{x}\right)^x$

Что значит, "какова область определения"?
От минус бесконечности до плюс бесконечности.

[Otta]

Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?
Как вообще такие функции определяются, у которых и основание, и показатель переменные, знаете?

[Shtorm]

BoBuk в сообщении #891011 писал(а):

От минус бесконечности до плюс бесконечности.

Неверно.

[BoBuk]

Otta в сообщении #891015 писал(а):

Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?

Могу.
Реальное значение равно нулю.
Мнимое $= \frac{1}{\sqrt2}$

Otta в сообщении #891015 писал(а):

Как вообще такие функции определяются, у которых и основание, и показатель переменные, знаете?

Вот вы меня и просветите.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Real по-русски принято переводить как действительное.

Shtorm в сообщении #891055 писал(а):

BoBuk в сообщении #891011 писал(а):

От минус бесконечности до плюс бесконечности.

Неверно.

Почему?

[Otta]

BoBuk в сообщении #891095 писал(а):

Реальное значение равно нулю.

[Shtorm]

BoBuk в сообщении #891095 писал(а):

Otta в сообщении #891015 писал(а):

Вот у того, что внутри скобки, значение в точке $-2$ можете посчитать?

Могу.
Реальное значение равно нулю.
Мнимое $= \frac{1}{\sqrt2}$

Мнимая часть будет равняться не $\frac{1}{\sqrt2}$, а $-\frac{1}{\sqrt2}$

Но всё это не имеет смысла, поскольку изначально функция была определена как функция в области действительных чисел. Если при подстановке в функцию действительного числа вместо $x$, получается мнимое значение - то при данном $x$ функция не существует.

Shtorm в сообщении #891055 писал(а):

Неверно.

vlad_light в сообщении #891097 писал(а):

Почему?

Потому, что область определения функции $ y=x^{\frac1x}$ вот какая: $x\in(0,+\infty)$ Спросите почему? Прочитайте начало этого моего сообщения.