Матрица в бесконечной степени

[Red_Herring]

Цитата:

Речь идёт именно о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова. Не могли бы Вы привести упомянутую систему?

У такой матрицы все с.з. по модулю меньше 1, кроме одного с.з. (а именно, 1) кратности 1 (в силу требования "связности" ($A^n$ имеет все эл-ты >0), причем без всяких присоединенных.

Т.е. Вам следует абсплютно не заморачиваясь ничем другим искать соответствующий с.з. 1 собственный вектор.

[Евгений Машеров]

MathKir в сообщении #890311 писал(а):

Henrylee в сообщении #890307 писал(а):

Еще вариант. Если (маловероятно, а вдруг?) речь идет о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова, то (при положительности элементов матрицы $A^n$ для некоторого $n$) пределом будет матрица с одинаковыми столбцами, составленными из векторов стационарного распределения упомянутой марковской цепи. Которое ищется путем решения линейной системы, т.е. очень просто.
Ну это так, если вдруг..

Речь идёт именно о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова) Не могли бы Вы привести упомянутую систему?

$(A-I)x=0$

[MathKir]

Всем спасибо! Теперь всё понятно.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность

Матрица вырожденная, приводится не к треугольному, а к ступенчатому виду, после чего одному из элементов x (последнему, скажем) назначается произвольное ненулевое значение, затем получатся остальные. Решение с точностью до умножения на константу, поэтому приводится к равной единице сумме величин, чтобы были вероятности.

[Henrylee]

Еще добавка (наверно и так очивидно, но вдруг?). Система имеет указанный выше вид
$(A-I)x=0$ это если матрица стохастическая по строкам, т.е. элемент $a_{ij}$ есть переходная вероятность $i\to j$.
Если наоборот - по столбцам, и $a_{ij}$ вероятность перехода $j\to i$, то
$x(A-I)=0$.