Матрица в бесконечной степени

[MathKir]

Необходимо возвести матрицу в бесконечную степень, то есть найти предел $\lim_{n \longrightarrow \infty} A^n$. Если матрица 2x2, то можно найти собственные векторы и перейти к базису, в котором матрица имеет диагональный вид, а потом сделать обратное преобразование. К сожалению, матрица имеет большую размерность (вообще говоря, есть множество матриц разных размерностей). Существует ли метод перехода к базису, в котором матрица имеет диагональный вид, для матриц nxn (решать уравнение n-ой степени для нахождения собственных чисел не вариант)? Или как можно эффективно решить исходную задачу?

[ИСН]

MathKir в сообщении #890177 писал(а):

Существует ли метод перехода к базису, в котором матрица имеет диагональный вид, для матриц nxn

Да, но придётся

MathKir в сообщении #890177 писал(а):

решать уравнение n-ой степени для нахождения собственных чисел

Это - эффективно. Смиритесь. Все так делают.
С другой стороны, впрочем, Вам от каждого собственного числа нужно не оно само, а только знать, равно оно единице или меньше её по модулю...

[Евгений Машеров]

Ну, я бы заметил, что решение уравнения n-ной степени для нахождения собственных чисел (и предварительное выписывание этого уравнения) позволяет найти собственные числа, только пользуются этим достаточно редко. Есть куда более эффективные численные методы.
Что касается конкретно этой задачи. Собственные числа могут быть больше единицы, меньше единицы по модулю, меньше или равны минус единицы и единица.
Если какое-то собственное число больше единицы - такого предела нет, равно и если есть меньше минус единицы. То есть надо как-то проверить этот факт или же он выводится из дополнительных физических соображений. Если есть меньшие единицы по модулю - они в пределе исчезают. То есть интересны только единицы.
Находите собственные вектора из $(A-I)x=0$

[ewert]

MathKir в сообщении #890177 писал(а):

Необходимо возвести матрицу в бесконечную степень, то есть найти предел $\lim_{n \longrightarrow \infty} A^n$.

А зачем?... Этот предел либо не существует, либо равен нулю, либо (в совсем уж частных случаях) есть некоторый проектор. Ну и какая от этого может быть польза для сельского хозяйства?...

-- Пт июл 25, 2014 14:37:44 --

Евгений Машеров в сообщении #890183 писал(а):

Если какое-то собственное число больше единицы - такого предела нет, равно и если есть меньше минус единицы.

А если больше или меньше мнимой единицы?...

[ИСН]

Короче, так: итерационным методом находим максимальное по модулю собственное число. Если оно больше 1, то нам конец. Если меньше, то - конец матрице: она вся упадёт к 0. Если равно 1, то находим его собственные векторы, приводимся к ним и дальше как обычно.

[ewert]

ИСН в сообщении #890188 писал(а):

Если равно 1, то находим его собственные векторы, приводимся к ним и дальше как обычно.

Не так быстро. Во-первых, это не все варианты. Во-вторых, даже для единицы есть варианты.

[ИСН]

Есть, разумеется: -1 или комплексные корни с модулем 1. Тогда всё плохо, предела нет. А какие ещё варианты?

[Red_Herring]

ИСН в сообщении #890192 писал(а):

А какие ещё варианты?

Соответствующие жордановы клетки.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #890185 писал(а):

MathKir в сообщении #890177 писал(а):

Необходимо возвести матрицу в бесконечную степень, то есть найти предел $\lim_{n \longrightarrow \infty} A^n$.

А зачем?... Этот предел либо не существует, либо равен нулю, либо (в совсем уж частных случаях) есть некоторый проектор. Ну и какая от этого может быть польза для сельского хозяйства?...

-- Пт июл 25, 2014 14:37:44 --

Евгений Машеров в сообщении #890183 писал(а):

Если какое-то собственное число больше единицы - такого предела нет, равно и если есть меньше минус единицы.

А если больше или меньше мнимой единицы?...

Вы правы, меня что-то ограничило случаем симметричных матриц и, вследствие этого, только действительных с.з. В общем случае либо вне единичного круга (и тогда убегает), либо внутри (и тогда в ноль), либо на самом единичном круге, и если не единица, при которой предел есть, то крутимся по кругу.
Насчёт пользы для сельского хозяйства - такие матрицы могут появиться в статистике или в эконометрике, что к сельскому хозяйству отношение может иметь, пусть и косвенное.

[ИСН]

C небольшой натяжкой могу придумать приложение с довольно крупными матрицами, где сама природа задачи гарантирует нам наличие собственного числа 1, отсутствие больших с.ч., и следовательно - нетривиальный ответ.

[ewert]

ИСН в сообщении #890202 писал(а):

гарантирует нам наличие собственного числа 1, отсутствие больших с.ч., и следовательно - нетривиальный ответ.

Евгений Машеров в сообщении #890197 писал(а):

и если не единица, при которой предел есть,

Red_Herring в сообщении #890196 писал(а):

Соответствующие жордановы клетки.

[ИСН]

Да-да, я понял. Вот и без всяких вредных клеток тоже.

[MathKir]

Всем спасибо за ответы. Попытаюсь действовать через нахождение собственных чисел.

[Henrylee]

Еще вариант. Если (маловероятно, а вдруг?) речь идет о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова, то (при положительности элементов матрицы $A^n$ для некоторого $n$) пределом будет матрица с одинаковыми столбцами, составленными из векторов стационарного распределения упомянутой марковской цепи. Которое ищется путем решения линейной системы, т.е. очень просто.
Ну это так, если вдруг..

[MathKir]

Henrylee в сообщении #890307 писал(а):

Еще вариант. Если (маловероятно, а вдруг?) речь идет о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова, то (при положительности элементов матрицы $A^n$ для некоторого $n$) пределом будет матрица с одинаковыми столбцами, составленными из векторов стационарного распределения упомянутой марковской цепи. Которое ищется путем решения линейной системы, т.е. очень просто.
Ну это так, если вдруг..

Речь идёт именно о стохастической матрице переходов однородной цепи Маркова) Не могли бы Вы привести упомянутую систему?