Об основной проблеме теории движения Луны

[Munin]

Утундрий в сообщении #890545 писал(а):

Можно этой аппроксимацией пользоваться, но только от сих до сих и ни в коем случае не дифференцировать!

Хм. А почему?

И где найти такую аппроксимацию, которую можно дифференцировать?

[Утундрий]

Munin в сообщении #890549 писал(а):

А почему?

Потому что лежащая в максимально узкой трубке вокруг точного решения траектория не обязана удовлетворять тому же диффуру. Если начать извлекать из неё силы, то наверняка получится какой-нибудь привет "Пионерам".

[Ingus]

Я по рабоче-крестьянски понял, что грузик на пружинке работает следующим образом:
1. Берем результаты наблюдений за Луной r'(t) (ну или углы там).
2. Записываем законы Ньютона для тел, которые по нашему мнению существенным образом влияют на движение Луны.
3. Решаем ДУ, варьируя начальные условия пока среднеквадратичное отклонение r'(t) от r(t) не достигнет минимума.
4. Объявляем, что получена теория движения Луны и уже через год не находим Луну там где посчитали. Расстраиваемся)

[Munin]

Утундрий в сообщении #890559 писал(а):

Потому что лежащая в максимально узкой трубке вокруг точного решения траектория не обязана удовлетворять тому же диффуру.

Ну, из закона всемирного тяготения наверняка следует какая-то гладкость достаточно высокой степени, чтобы на самом деле, близость в трубке сочеталась с близостью производной. Хотя смотреть надо, чем именно они аппроксимируют.

[Утундрий]

Munin в сообщении #890567 писал(а):

чем именно они аппроксимируют

Банальными оскулирующими эллипсами.

[Munin]

А разве нельзя эллипс дифференцировать? Ну хотя бы один раз.

[Someone]

Ingus в сообщении #890560 писал(а):

Я по рабоче-крестьянски понял, что грузик на пружинке работает следующим образом:
1. Берем результаты наблюдений за Луной r'(t) (ну или углы там).
2. Записываем законы Ньютона для тел, которые по нашему мнению существенным образом влияют на движение Луны.
3. Решаем ДУ, варьируя начальные условия пока среднеквадратичное отклонение r'(t) от r(t) не достигнет минимума.
4. Объявляем, что получена теория движения Луны и уже через год не находим Луну там где посчитали. Расстраиваемся)

Нет, происходит примерно следующее. Допустим, мы хотим построить теорию движения камня, брошенного под углом к горизонту. Мы берём начальные данные (скорость, угол бросания) и интегрируем уравнения движения камня. Получаем параболу типа $y=ax(l-x)$, $0\leqslant x\leqslant l$ (численные значения параметров $a$ и $l$ нам известны). Затем мы вычисляем для этой функции, например, пять первых членов тригонометрического ряда Фурье по синусам, и получаем

$$y\approx\frac{8al^2}{\pi^3}\left(\sin\frac{\pi x}l+\frac 1{27}\sin\frac{3\pi x}l+\frac 1{125}\sin\frac{5\pi x}l+\frac 1{343}\sin\frac{7\pi x}l+\frac 1{729}\sin\frac{9\pi x}l\right).$$

Эту формулу мы и объявляем "теорией движения камня".

При построении теории движения планет и их спутников поступают примерно так же. Только в результате интегрирования уравнений движения получается не компактная формула, как в моём примере, а громадная таблица чисел, и вместо разложения в ряд Фурье используются другие методы.

[Утундрий]

Кстати, если эту "недопараболу" нарисовать, то уже по одному её виду многое станет понятно

[Someone]

Лучше нарисовать график разности

$$ax(l-x)-\frac{8al^2}{\pi^3}\left(\sin\frac{\pi x}l+\frac 1{27}\sin\frac{3\pi x}l+\frac 1{125}\sin\frac{5\pi x}l+\frac 1{343}\sin\frac{7\pi x}l+\frac 1{729}\sin\frac{9\pi x}l\right)$$

(взяты значения $a=1$ и $l=5$). А также график разности производных.

Вложение:

PapprF.gif [ 4.79 Кб | Просмотров: 1304 ]

Вложение:

LapprF.gif [ 3.35 Кб | Просмотров: 1304 ]

[Утундрий]

Во избежание дальнейших недоразумений, стоит признать, что

Munin в сообщении #890572 писал(а):

хотя бы один раз.

всё-таки можно. Авторы старались приблизить не только положение, но и скорость. Но вот два разА (а я не зря говорил о силах) уже низзя.

[Ingus]

Someone в сообщении #890580 писал(а):

и интегрируем уравнения движения камня. Получаем параболу

А почему мы интегрируя по времени, получаем зависимость от расстояния? Простите за тупизну. Я, интегрируя второй закон Ньютона для планеты, ищу решение в виде рядов времени. Одни получше сходятся, другие похуже. С методом Ньютона получше, Фурье похуже. Но для малых эксцентриситетов в целом хорошо.

[Munin]

Ingus в сообщении #890814 писал(а):

А почему мы интегрируя по времени

А никто не сказал, что по времени. "Интегрировать уравнение" - это вообще не то же самое, что "взять интеграл". Это по смыслу то же самое, что "решить уравнение", только это выражение используется для дифференциальных уравнений.

[Утундрий]

Ingus в сообщении #890814 писал(а):

Я, интегрируя второй закон Ньютона для планеты, ищу решение в виде рядов времени. Одни получше сходятся, другие похуже. С методом Ньютона получше, Фурье похуже. Но для малых эксцентриситетов в целом хорошо.

Интересно. И как выглядит эллипс после, к примеру, тысячи оборотов?

[Munin]

Головокружительно...

[Ingus]

Munin в сообщении #890837 писал(а):

А никто не сказал, что по времени

Согласен. Не сказал. Просто в моей необразованной голове уравнение движения почему-то ассоциируется с изменением координат во времени.

-- 28.07.2014, 12:55 --

Утундрий в сообщении #890863 писал(а):

Интересно. И как выглядит эллипс после, к примеру, тысячи оборотов?

Так далеко я не заглядывал, но думаю, не очень выглядит.

-- 28.07.2014, 13:02 --

Ingus в сообщении #890878 писал(а):

Нет, происходит примерно следующее. Допустим, мы хотим построить теорию движения камня, брошенного под углом к горизонту

Траекторию мы нашли. А закон движения? Без закона движения теория не полна, мне кажется.

-- 28.07.2014, 13:07 --

Утундрий в сообщении #890863 писал(а):

Интересно. И как выглядит эллипс после, к примеру, тысячи оборотов?

Для Земли с ее (орбиты) эксцентриситетом, думаю трех гармоник в разложении r(t) хватит на 1000 оборотов.. А это 1000 лет как никак.