2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множество из кв. вычетов и невычетов [Теория чисел]
Сообщение27.07.2014, 10:09 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте, уважаемые друзья!

Множество $\{1, 2, \dots, p-1\}$ разбито на два подмножества непустых, причем имеют место следующие свойства:
а) Произведение двух чисел одного подмножества сравнимо по модулю $p$ с числом первого подмножества.
б) Произведение двух чисел различных подмножеств сравнимо по модулю $p$ с числом второго подмножества.
Доказать, что это будет тогда и только тогда, когда первое подмножество состоит из квадратичных вычетов, а второе - из
квадратичных невычетов.

Достаточность является очевидным.
Необходимость: Обозначим первое множество через $A$ и пусть $A=\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$, а второе - через $B$ и
пусть $B=\{a_{k+1}, a_{k+2}, \dots, a_{p-1}\}$.
Из свойства а) сразу понятно, что $A$ содержит числа сравнимые по модулю $p$ c $1^2, 2^2, \dots, \left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2$, т.е.
в $A$ есть ВСЕ кв. вычеты по модулю $p$. Также понятно, что в $B$ не может быть кв. вычетов. Значит, в $B$ есть только
кв. невычеты. Покажем, что в $A$ ТОЛЬКО кв. вычеты. Пусть в нем есть кв. невычет. Пусть это будет $a'$ и $b\in B$, тогда
$a'b$ - кв. вычет и он сравним по модулю $p$ с каким-то элементом из B. Значит, в $B$ есть кв. вычет. Противоречие. Отсюда получаем то, что нам нужно.

Скажите пожалуйста правильны ли мои рассуждения?

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество из кв. вычетов и невычетов [Теория чисел]
Сообщение27.07.2014, 10:23 
Заслуженный участник


20/12/10
6510
Whitaker в сообщении #890538 писал(а):
Из свойства а) сразу понятно, что $A$ содержит числа сравнимые по модулю $p$ c $1^2, 2^2, \dots, \left(\dfrac{p-1}{2}\right)^2$, т.е.
в $A$ есть ВСЕ кв. вычеты по модулю $p$.
А почему понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество из кв. вычетов и невычетов [Теория чисел]
Сообщение27.07.2014, 10:54 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Постараюсь изложить как я сам понял.
У нас дано такое свойство:
Цитата:
а) Произведение двух чисел одного подмножества сравнимо по модулю $p$ с числом первого подмножества.
Так как $A=\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ и $B=\{a_{k+1}, a_{k+2}, \dots, a_{p-1}\}$ из свойства а) получаем, что $a_1\cdot a_1=a_1^2$ сравнимо с каким-то числом из $A$ и так далее $a_k\cdot a_k=a_k^2$ также сравнимо с каким-то число из А. Такую же процедуру применяем к элементам множества $B$ и получаем, что $a_{j}^2$ сравнимо с каким-то числом из $A$ при $j\in \{k+1, \dots, p-1\}$. Итого получаем, что в $A$ есть числа, сравнимые с $\{1^2, 2^2, \dots, (p-1)^2\}$, но так как $r^2\equiv (p-r)^2 \pmod p$, то можно взять множество $\{1^2, 2^2, \dots, \left(\frac{p-1}{2}\right)^2\}$. Также нетрудно показать эти числа попарно несравнимы по модулю $p$. А в приведенной системе вычетов по модулю $p$ квадратичные вычеты сравнимы как раз с числами множества $\{1^2, 2^2, \dots, \left(\frac{p-1}{2}\right)^2\}$. Т.е. в $A$ есть ВСЕ кв. вычеты по модулю $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество из кв. вычетов и невычетов [Теория чисел]
Сообщение27.07.2014, 11:05 
Заслуженный участник


20/12/10
6510
Ну да, я почему-то подумал, что по условию свойством а) обладает только множество $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множество из кв. вычетов и невычетов [Теория чисел]
Сообщение27.07.2014, 11:07 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
nnosipov
Спасибо за то, что посмотрели тему :-)
После Вашего вопроса еще лучше разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group