Задача Штурма-Лиувилля с разрывным коэффицентом

[SwellBox]

Добрый вечер.
Возник вопрос: как найти спектр для такой задачи?
$\begin{cases}- \frac{d}{d x} \left( a(x) \frac{d}{d x} u(x) \right) = \lambda u(x), \quad x \in [0, 1] \\ u(0) = u(1)\end{cases}$
Тут $a(x) = \frac{1}{2} \cdot \xi_{[0, \frac{1}{2}]} (x) + 1 \cdot \xi_{(\frac{1}{2},1]} (x)$.
Оператор в левой части задан через квадратичную форму, он действует в $L_2$ на области определения $H^1$.

Казалось бы, можно рассмотреть уравнение справа и слева от скачка. Но вот условий мало: только $u(0) = u(1)$ и непрерывность решения.

[ewert]

SwellBox в сообщении #889976 писал(а):

Но вот условий мало: только $u(0) = u(1)$

А и впрямь мало: это -- не ЗШЛ.

Так что никакого спектра и не найдёшь, пока не поставишь хоть сколько-то разумные граничные условия.

SwellBox в сообщении #889976 писал(а):

Оператор в левой части задан через квадратичную форму, он действует в $L_2$ на области определения $H^1$.

Только не он, а она.

[Red_Herring]

SwellBox в сообщении #889976 писал(а):

Оператор в левой части задан через квадратичную форму, он действует в $L_2$ на области определения $H^1$.

Казалось бы, можно рассмотреть уравнение справа и слева от скачка. Но вот условий мало: только $u(0) = u(1)$ и непрерывность решения.

Значит мы задаем оператор через квадратичную форму. Вы ее не выписали, но я предполагаю
$Q(u,v)=\int_0^L a(x) u'v'\,dx$ (я пишу билинейную форму), где $a(x)$ имеет разрыв при x=l (ну и "скрытый разрыв" при $x=0$ (если продолжать ее $L$–периодически). Ну, давайте разберитесь когда $Q(u,v)=(f,v)$ для всех $v\in H^1$, т.ч. $v(0)=v(1)$. Интегрируйте по частям...

Ответ: $a(0)u'(0)=a(1)u'(1)$ и $a(l-)u'(l-)=a(l+)u'(l+)$ — недостающие граничные условия.
Два других: $u(0)=u(L)$ и $u(l-)=u(l+)$ Вы знаете.

ewert в сообщении #889984 писал(а):

А и впрямь мало: это -- не ЗШЛ.

А теперь вполне обычная ЗШЛ.

Замечание Вариационная задача отнюдь не обязана содержать достаточное количество ограничений, но новые ограничения появляются автоматически для оператора; эти новые ограничения не имеют смысла для вариационной задачи:
1) При $a(x)=1$ и $D(Q)=H^1$ появляется ограничение $D(A)= H^2\cap \{u'(0)=u'(L)=0\}$;
При $a(x)=1$ и $D(Q)=H^1\cap \{u(0)=0\}$ появляется ограничение $D(A)= H^2\cap\{u(0)=u'(L)=0\}$.
2) При $a(x)=1$ и $D(Q)=H^1\cap \{u(0)=u(L)\}$ оявляется ограничение $D(A)= H^2\cap\{u(0)=u(L), u'(0)=u'(L)=0\}$

Замечание Условие переформулируется так: рассмотрим $L$-периодические $u$ и $a$ с нормами через интеграл по периоду. Тогда $D(A)= \{u\in H^1_{per} , a u'\in H^1_{per}\}$ (и в частности $au'\in C_{per}$).

Замечание Это даже не экзотика. В УЧП аналогичные задачи ставятся вариационно при $L^\infty$ главных коэффициентах (плюс равномерная эллиптичность).

[ewert]

Red_Herring в сообщении #890064 писал(а):

А теперь вполне обычная ЗШЛ.

Теперь-то да (хотя и не вполне обычная). Изначально же -- никакая не ЗШЛ.

[SwellBox]

Спасибо.