Оператор в левой части задан через квадратичную форму, он действует в

на области определения

.
Казалось бы, можно рассмотреть уравнение справа и слева от скачка. Но вот условий мало: только

и непрерывность решения.
Значит мы задаем оператор через квадратичную форму. Вы ее не выписали, но я предполагаю

(я пишу билинейную форму), где

имеет разрыв при x=l (ну и "скрытый разрыв" при

(если продолжать ее

–периодически). Ну, давайте разберитесь когда

для всех

, т.ч.

. Интегрируйте по частям...
Ответ: 
и

— недостающие граничные условия.
Два других:

и

Вы знаете.
А и впрямь мало: это -- не ЗШЛ.
А теперь вполне обычная ЗШЛ.
Замечание Вариационная задача отнюдь не обязана содержать достаточное количество ограничений, но новые ограничения появляются автоматически для оператора; эти новые ограничения не имеют смысла для вариационной задачи:
1) При

и

появляется ограничение

;
При

и

появляется ограничение

.
2) При

и

оявляется ограничение
Замечание Условие переформулируется так: рассмотрим

-периодические

и

с нормами через интеграл по периоду. Тогда

(и в частности

).
Замечание Это даже не экзотика. В УЧП аналогичные задачи ставятся вариационно при

главных коэффициентах (плюс равномерная эллиптичность).