Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения

[peregoudov]

2 Андрей123
Ага, понятно. Только это решение в определенной области, а именно при $s>ct$ и $s<l-ct$ (геометрически --- в треугольнике, образованном двумя характеристиками и начальным отрезком). Как видите, ни $s=0$ ни $s=l$ положить нельзя, разве только в момент $t=0$ (но тогда граничные условия выполняются).

Как выглядит решение для $s<ct$, написал в своем посте Zai
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=88709#88709

Еще одну картинку Вы можете увидеть по ссылке, которую я давал в первом посте
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060

А вот здесь некто txAlien даже анимашку запостил
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 329627/0#4
смотри также
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 29627/0#14

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

MOPO3OB писал(а):

немного уточню задачу....

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=H(t)\frac a {c^2}
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(х,0)=0
$u(l,t)=0
$u(0,t)=0

и эквивалентная (выделено мной - П.)

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=0
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(x,0)=0
$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

возможно с точностью до множителя

Zai писал(а):

MOPO3OB писал(а):

$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.

Zai, видимо, хочет сказать, что эти задачи не эквивалентны. Я с ним полностью согласен. Хочу только напомнить, что тема не об этом.

[MOPO3OB]

Надеюсь меня простят, я недописал начальные условия естествено скорость производная u тоже равно нулю..$u_t(x,0)=0

напишем попроще
$u(l,t)=H(t)
$u(0,t)= - H(t)


Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.[/quote]

В первом приближении, и вполне достаточном
$F= ma

$m - масса железки....по железке бегают волны, смещая центр тяжести, но в АКУСТИКЕ эти смещения малы.... (может кто не заметил мы все дружно пользуемся волновым уравнением акустики)
$F - суммарная сила (см. школьный курс физики) вся премудрость сводится этой НЕХИТРОСТИ.... стремление к строгости и популяризация вещи противоположные...
Кто не верит почитайте Бурбаков ...и для контраста Магницкого....

[gu_an]

Математические недоразумения и физические парадоксы во многих общепризнанных классических задачах
университетских курсов механики сплошных сред, математической физики,теории колебаний и других учебных дисциплин

....Некоторые из них вызваны последствиями
многолетней, но не законченной дискуссии Даламбера и Эйлера. В числе таких последствий оказались ошибочные физические предпосылки и некорректные
математические положения при постановке классических задач в конце 19-го и в начале 20-го столетий.
К сожалению, и в настоящее время постановки более
сложных современных задач в научных учреждениях обычно базируются на таких же ошибочных положениях.
Позицию автора поддержали многие известные специалисты (физики, математики, механики) научных учреждений и высших учебных заведений.

http://a-kozachok1.narod.ru/

[Zai]

peregoudov писал(а):

Вводим новую функцию u(t,s)

$$x(t,s)=s+at^2\!/2-as(l-s)/2c^2+u(t,s).$$

При всей математической правильности приведенного Вами решения можно сделать несколько замечаний.
Почему Вы используете такую сложную функцию смещения? Ваше решение очень сложно понять. Покажите, что приведенная Вами формула имеет разрывную вторую производную. В решении ускорение не непрерывно. Оно имеет разрывы и Ваша формула должна отражать волновой характер ускорения по типу тех графиков, которые привел Морозов. Но он почему-то приписывает разрывы в решении смещениям.

[MOPO3OB]

Zai писал(а):

MOPO3OB писал(а):

$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.

Сие записано в системе координат концов. Тут нет проблем, поскольку задача нерялитивистская.

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

Цитата:

....Некоторые из них вызваны последствиями
многолетней, но не законченной дискуссии Даламбера и Эйлера.

Это грубая лесть? Сравнение меня с Эйлером, что может быть лучше...

Вообще-то задачника не очень сложная. Просто товарищ Перегудов решал ее с помощью решения совсем другой задачи. Никак это действо не обосновал.... несмотря на многократные просьбы. И не только мои.

Добавлено спустя 25 минут 15 секунд:

________________________________________
можно все сделать не так изыскано, но так по крайней мере кто-то поймет
Волновое уравнение

тут проблем никаких не должно быть.
Начальные условия


тут все просто "в начале была тьма" (библия)... в смысл никаких напряжений...
Граничные условия


где -ступенчатая функция Хевисайда....т.е. на обоих концах стержня возникакт сила.
В первом приближении, и вполне достаточном, эта сила


m- масса железки....по железке бегают волны, смещая центр тяжести, но в АКУСТИКЕ эти смещения малы.... (может кто не заметил мы все дружно пользуемся волновым уравнением акустики)
F - суммарная сила (см. школьный курс физики).... вся премудрость сводится к этой НЕХИТРОСТИ....

почему-то нематематикам подавай решение обязательно в виде формул
Волны с концов с точностью до множителя $H(x-ct) и -H(x+ct) (см. картинку) ....
Когла они доходят до противоположного края их сумма нулевая, но они отражаются от края и появляются дополнительные волны $H(l+x-ct) и -H(-l+x+ct) (опять картинка)
и так далее.....



я там немного соврал, насчет дельта-образной силы... но это никак не сказалось на результате

[peregoudov]

Zai писал(а):

Почему Вы используете такую сложную функцию смещения? Ваше решение очень сложно понять.

Попробуйте прочитать текст по ссылкам, которые я давал в первом посте и в своем предыдущем посте на этой странице. Особенно вот здесь
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060
разделы "Что хотел сказать Морозов" и "Сравнение с моим решением". Там объяснено, почему я использую такую замену функции и что это означает физически.

Цитата:

Покажите, что приведенная Вами формула имеет разрывную вторую производную.

Не очень понимаю, почему я должен это доказывать, особенно в свете предыдущей фразы

Цитата:

При всей математической правильности приведенного Вами решения

Я всегда считал, что решение --- это функция, удовлетворяющая уравнению, начальным и граничным условиям (то есть обращающая их в тождества). Мое решение всем этим требованиям удовлетворяет. А ускорение --- какое получится, такое и получится.

Что ускорение терпит разрыв, скажем, на характеристике $s=ct$ --- так это из формул видно, хоть Ваших, хоть моих, хоть txAlien'а.

[gu_an]

peregoudov писал(а):

Я всегда считал, что решение --- это функция, удовлетворяющая уравнению, начальным и граничным условиям (то есть обращающая их в тождества).

Для математики, ДА.
В физике, Вы можете использовать только те функции, которые отражают РЕАЛЬНЫЙ физический процесс, а не любые, удовлетворяющие решению.
Т.е. применение требует обоснования в физическом смысле.

[MOPO3OB]

Я не вижу причин ходить по ссылкам, не имеющим отношения к решению....

я не вижу никаких возражений по поводу моего решения нет

С другой стороны причин для использования формулы Даламбера не появилось...

Дмитрий, может прекратите уводить народ в сторону?
Есть что сказать говорите здесь...

Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду:

Zai писал(а):

При всей математической правильности приведенного Вами решения можно сделать несколько замечаний.

Цитата:

Ваше решение очень сложно понять.

если вам так показалось... объясните при чем тут формула Даламбера?
Я не понял, поняли вы что-то или нет, но вдруг
..... коим образом решение на числовой оси можно применить к отрезку...

[MOPO3OB]

Замечу выставленные варианты решения это разные задачи...

Добавлено спустя 14 минут 30 секунд:

Цитата:

почему-то нематематикам подавай решение обязательно в виде формул

$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n[H(-nl-x+ct)-H(-nl-l+x+ct)]

остается добавить что в первой задаче это

$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n[\delta(-nl-x+ct)-\delta(-nl-l+x+ct)]


$\sum\limits_{n=0}^\infty [H(-nl-x+ct)-H(-nl-l+x+ct)]

[MOPO3OB]

Задача: концы стержня в момент t=0 начинают двигаться с ускорением .
задачу можно упростить, если рассматривать в системе неподвижных концов
В системе неподвижных концов на каждый элмент стержня в момент t=0 начинает действовать сила.
я дал решение по всем правилам, но детали пришлось опустить ..

попытаюсь именно это прояснить в качественном решении, вернее пояснении самых существенных деталей..



понятно, что тут еще надо учесть неподвижные границы....
Как происхотит отражение на границах можно понять из






можно посмотреть на мое первоначалное, небрежное решение, чесно говоря недооценил задачу..
оно выглядит правдоподобно... даже похоже верно ... "опыт сын ошибок.."
токо по х инвертировано, так как сила направлена в другую сторону



на одном иэконцов давление положительное... на другом всегда отрицательное ...
в среднем суммарная сила F=Ma, M - полная масса стержня

[MOPO3OB]

Цитата:

Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.

правильно!
НО тогда уравнение должно быть для ДФИЖУЩЕЙСЯ среды.

не проще ли перейти к системе координат с НЕПОДВИЖНЫМИ концами, правда придется ввести силу инерции...

[MOPO3OB]

Не все так просто в акустике, как может показаться дилетанту...

в просветительских целях выложил места по этой теме....
[url="http://phorum.lebedev.ru/viewtopic.php?t=1587&sid=4867e694785c638b0b205f865a6ca8c9"]http://phorum.lebedev.ru/viewtopic.php?t=1...b205f865a6ca8c9[/url]

это только скалярная одномерная задача... в общем случае все намного сложнее чем в электродинамике...