Подъем решений

[Ward]

Здравствуйте!

Решить сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod {27}$, где $f(x)=x^4+7x+4$.
Как я понял из теории, то сначала надо найти решения по модулю 3. $f(x)\equiv 0 \pmod {3}$ имеет одно решения $x\equiv 1 \pmod 3$ и при этом $f'(1)\equiv 2 \pmod 3,$ т.е. не делится на 3. Находим $x=1+3t_1$, и подставляя это в $f(x)$ и используя формулу Тейлора мы получаем: $f(1)+3t_1f'(1)\equiv 0 \pmod 9;$ $3+3t_1\cdot 2\equiv 0 \pmod 9,$ $2t_1+1\equiv 0 \pmod 3$

У меня возникает такой вопрос: Вот сравнение $3+3t_1\cdot 2\equiv 0 \pmod 9$ делят обе части и модуль на 3 и получают сравнение $2t_1+1\equiv 0 \pmod 3$. Но ведь первое сравнение имеет $(6,9)=3$ решения, а второе одно решение. Т.е. при делении некоторые решения исчезают. Не влияет ли это как-нибудь на дальнейшее решение?
Объясните мне пожалуйста этот момент непонятный.

Заранее благодарю за помощь!

[Munin]

Мне кажется, что
$3+6t_1\equiv 0\pmod 9$
имеет бесконечно много решений
$t_1=1+3n,\quad n\in\mathbb{Z},$
и
$1+2t_1\equiv 0\pmod 3$
тоже имеет бесконечно много решений
$t_1=1+3n,\quad n\in\mathbb{Z}.$
Поскольку множество решений то же самое, то можно перейти от одного к другому, это равносильные сравнения.

[Ward]

Уважаемый Munin
Разве они равнсильны?
У первого сравнения решения будут $t_1\equiv 1 \pmod 9$, $t_1\equiv 4 \pmod 9$, $t_1\equiv 7 \pmod 9$
У второго сравнения только $t_1\equiv 1 \pmod 3$
Множество решений ведь различно?! Или я туплю

[ИСН]

Это одно и то же множество. Или Вы можете указать что-то, что входит в первое и не входит во второе? Или, может, наоборот?

[bot]

Ward в сообщении #889641 писал(а):

У первого сравнения решения будут $t_1\equiv 1 \pmod 9$, $t_1\equiv 4 \pmod 9$, $t_1\equiv 7 \pmod 9$
У второго сравнения только $t_1\equiv 1 \pmod 3$

То есть у первого сравнения $\{1+9k \mid k\in \mathbb Z\}\cup \{4+9k \mid k\in \mathbb Z\}\cup \{7+9k \mid k\in \mathbb Z\}\,$, а у второго $\{1+3k \mid k\in \mathbb Z\}$

[Munin]

Ward в сообщении #889641 писал(а):

Разве они равнсильны?
У первого сравнения решения будут $t_1\equiv 1 \pmod 9$, $t_1\equiv 4 \pmod 9$, $t_1\equiv 7 \pmod 9$
У второго сравнения только $t_1\equiv 1 \pmod 3$
Множество решений ведь различно?!

Я же выписал множества решений и там, и сям. Не в виде сравнений, а в виде общей формулы.

[Ward]

Munin я извиняюсь так как недавно это все изучать (если мои вопросы покажутся глупыми)
Но ведь в виде там же другому будет, точнее у первого сравнения 3 решения. А у второго только одно решение

[Munin]

Если вы нарисуете три отдельных отрезка, у которых будут попарно совпадать разные концы, и если нарисуете треугольник - в итоге у вас будет одно и то же. "Три решения" у первого сравнения, если их объединить, дадут полное множество решений - такое же, как "одно решение" у второго сравнения.

Ну давайте явно выпишем: первое сравнение имеет решения $1,4,7,10,13,16,19,\ldots,-2,-5,-8,-11,\ldots$
А второе сравнение - решения $1,4,7,10,13,16,19,\ldots,-2,-5,-8,-11,\ldots$
Найдите разницу :-)