Среднее распределение дробных долей чисел

[marij]

Почему среднее дробных долей чисел вида $\frac{N}{i}$ где $i=1,2,..,N$ при вычислении на компьютере стремится к 0.422 довольно устойчиво и т.д. ,а не к 0.5 например? Или это так и должно быть?

[veg_nw]

Я думаю ошибка программы. Можно ее посмотреть?

Кстати как вы считаете среднее?

[marij]

Ну обычная программа на Си.Только как мне еще сюда залить

[Aritaborian]

Тупо текстом ;-) Только обрамите его тегом [code].

[marij]

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main()
{


    
    double A,X,n,i,S,L=0.0;

    for(n=100.0;n<=1000.0;n=n+1.0)
     {
        S=0.0;
        for(i=1.0;i<=n;i=i+1.0)
         {
          A=(n/i)-floor(n/i);
          S=S+A;
         }
         X=S-(0.5*n);
         L=S/n;
         printf("n=%f \t S =%f \t X= %f \t L=%f\n",n,S,X,L);

     }

    return 0;
}

-- 23.07.2014, 01:02 --

Проверял до N=1млрд

[venco]

Потому что $\frac1x$ - вогнутая функция.
Должно получиться что-то типа $1-\gamma\approx 0.422784$

[marij]

Если рассматривать как число точек под гиперболой.Оттуда это все.Спасибо

-- 23.07.2014, 01:40 --

Но раз программа написано мучает вопрос для всех ли вогнутых гладких функций такой предел будет?

[marij]

Для синуса,косинуса ровно 0.5 получается и довольно быстро

-- 23.07.2014, 03:08 --

И только для $14\arctg{n}$ среднее равно где-то 0.99)))

[veg_nw]

Кстати я вспомнил что то подобное у Виноградова в книжке теория чисел. Отдел 2 или 3 в задачах есть что то такое. Попробую найть линк.

[ex-math]

Для 0,5 достаточно равномерного распределения дробных долей, а это равносильно нетривиальной оценке соответствующей тригонометрической суммы. Такие оценки есть для довольно широкого класса функций. Посмотрите "Основы аналитической теории чисел" Карацубы, про критерий Вейля, методы Вейля и (особенно) ван дер Корпута.

-- 23.07.2014, 10:45 --

Грубо говоря, "хорошая" вторая производная гарантирует результат.

[ИСН]

Натыкался когда-то на родственный факт: на что похожи средние остатки? Грубо говоря, кажется, что остаток от деления N на i "в среднем" будет "равен" $i\over2$ (ну или там $i-1\over2$, неважно), а их сумма от 1 до N, соответственно - асимптотически стремится к $N^2\over4$. Да не тут-то было!

[ex-math]

marij
Раз уж у Вас есть программа, попробуйте суммировать дробные доли не от $1$ до $N$, а, скажем, от $N^{0.1}$ до $N^{0.9}$. Должна получаться половинка. Степени можно брать любые, но чем ближе к нулю и к единице, тем медленнее будет сходимость.

[marij]

Действительно при Ваших показателях степеней последовательность средних(которые соответствуют значениям $N=10,10^2,...10^{10} $ )будет такая:

$$0.275510 ;0.441692;0.448741;0.511632;0.493390;0.481355;0.484487;0.503357;0.493013;0.491674$$

-- 23.07.2014, 22:07 --

Тогда как от $N^{0.4}$ до $N^{0.6}$ уже при $N=10^9,10^{10},10^{11}$ последовательность более доверительная$ 0.498682; 0.499558 ;0.499855; 0.4999$т.д все ближе к 0.5

-- 23.07.2014, 22:10 --

Странный факт.

[marij]

От 1 до $N^{0.5}$ стремление к 0.5. А вот от $N^{0.5}$до $N$ стремление к тому $1-\gamma$!Так что особенность именно в окрестности $N$

-- 24.07.2014, 03:21 --

Хотя, ничего удивительного, все таки чисел от $N^{0.9}$до$N$ намного больше чем от $1$ до $N^{0.9}$

[venco]

Если прикинуть, какой вклад в отклонение среднего от $\frac12$ дают разные диапазоны суммирования ($(\frac n2,\frac n1]$, $(\frac n3,\frac n2]$, ...), то получится, что чем дальше от $n$, тем меньше влияние. Более того, влияния вышеприведённых диапазонов сходятся к ненулевым константам. Получается, для любых неравных констант $a$ и $b$ усреднение в диапазоне $[an,bn]$ будет сходиться к какому-то числу, отличающемуся от $\frac12$. А вот если взять суммирование до дробной степени $n$, то в пределе получится $\frac12$.