Среднее распределение дробных долей чисел

[ex-math]

Я исходил из того, что очень короткие суммы нетривиально не оцениваются. Но длины $N^\varepsilon$ -- уже оцениваются. Так что от единицы до указанной границы действительно будет половинка.
То, что в окрестности $N$ равномерного распределения нет, довольно ожидаемо -- там дробные доли меняются монотонно и как раз играет выпуклость функции.