Слабое решение ДУ

[skrp]

Здравствуйте.

подскажите, пожалуйста, в чем заключается идея слабого решения ду?
(weak solution или generalized solution). мы домножаем на функцию, которая может быть любой. а потом находим решение ду через эту функцию. зачем?

[Oleg Zubelevich]

skrp в сообщении #888076 писал(а):

Здравствуйте.

подскажите, пожалуйста, в чем заключается идея слабого решения ду?
(weak solution или generalized solution). мы домножаем на функцию, которая может быть любой. а потом находим решение ду через эту функцию. зачем?

смысл в том, что достаточно гладких решений ДУ может и не быть, например, в уравнениях газовой динамики бывают решения с ударными волнами. Даже в обычном одномерном волновом уравнении можно взять начальное условие с "углом" и этот угол поползет по характеристике -- мы получим обобщенное решение.

[skrp]

У меня есть уже преобразованное уравнение:
$-a_1 \int_{0}^{\gamma} \varphi(x) u''(x) dx = a_2 \int_{\gamma}^{1} \varphi(x) u''(x) dx$,
где все это в пространстве $(0,1)$, функция $\varphi(x)$ - гладкая (она и есть тест-функция для нахождения слабого решения), и неизвестная - $u(x)$.
Как вообще найти $u(x)$ из этого уравнения?

[Oleg Zubelevich]

наверное дело было так: $a(x)=a_1,\quad x<\gamma,\quad \gamma\in(0,1)$ и $a(x)=a_2,\quad x>\gamma$ и уравнение
$\int_{(0,1)}a(x)\varphi(x)u''(x)dx=0,\quad \varphi\in\mathcal{D}(0,1)$
Предположим, что константы $a_1,a_2$ не равны нулю и не равны между собой. По идее, естественно потребовать $u''\in L^1(0,1)$ в таком классе решением поставленной задачи являются линейные функции и только они. Это наиболее неинтересный случай, остались несколько интересных.

[skrp]

почти, но не совсем так.
Изначально вообще было такое ду:

$(a(x) u'(x))'=0$ на $(0,1)$
с начальными условиями:
$a(x) u'(0)=g_1$,
$a(x) u'(1)=g_2$,
$a(x)=a_1, x \in [0,\gamma), a(x)=a_2, x \in (\gamma, 1]$.

Из этой задачи мне нужно найти функцию $u(x)$, о которой мы знаем, что она непрерывна и кусочно-дифференцируема.
Используя тестовую функцию $\varphi(x)$, я нашла, что $u''(x)=0, x \in (0,\gamma)$
и $u''(x)=0, x \in (\gamma, 1)$ и еще получила условие $a_1 u'(\gamma^-)=a_2 u'(\gamma^+)$.
Что из этого условия вытекает?
Мне нужно получить $u(x)$ в виде $u(x)=Ax + B$.
Т.к. на этих двух интервалах функции могут быть разные, нужно найти $u(x)=Ax+B, x\in (0,\gamma), u(x)=A'x+B', x\in (\gamma, 1)$
Из начальных условий нахожу, что $A=g_1/a_1$,
$A'=g_2/a_2$, но как найти В и В' и как применить полученное условие $a_1 u'(\gamma^-)=a_2 u'(\gamma^+)$ и как доказать единственность этого решения?

[Oleg Zubelevich]

Вы опять невнятно ставите задачу.

skrp в сообщении #889225 писал(а):

начальными условиями:
$a(x) u'(0)=g_1$,
$a(x) u'(1)=g_2$,

а разве в этих формулах $a$ зависит от $x$?
Наверное $a(x)>0$.
Похоже на задачу Неймана, если так, то какие следует брать пробные функции? Напишите задачу в виде интегрального тождества с пробными функциями.



какие условия следует наложить на $g_i$? лучше перейти к нулевым краевым условиям

[skrp]

так и есть. это задача Неймана. и вроде бы я ее сформулировала так, как она есть.
$a(x)=a_1, x \in (0, \gamma), a_2, x \in (\gamma, 0)$
Берем $\varphi(x)$,
домножаем на эту функция слева и справа и интегрируем:

$\int_0^1 (a u')' \varphi dx=0$
интергриуем по частям, получаем:
$\int_0^1 a u' \varphi' dx=g_2\varphi(1)-g_1\varphi(0)$.
Далее, т.к. $\varphi$ - любая, берем ее из пространства$C_0^{\infty} (0, \gamma)$ (это такое пространство, где функции бесконечно дифференцируемы на указанном промежутке, а в остальных точках равны нулю). получаем, что $u''=0, x\in (0, \gamma)$, аналогично, когда $\varphi \in C_0^\infty (\gamma, 1)$: $u''=0, x \in (\gamma, 1)$.
Берем теперь $\varphi \in C_0^{\infty}(0, 1), \varphi(\gamma) \not=0$ и отсюда получаем, что $a_1u'(\gamma^-)=a_2u'(\gamma^+)$. Но что делать с этим уловием и как найти $B$ и $B'$ я до сих пор не понимаю.

[Oleg Zubelevich]

1) решение определено с точностью до адитивной константы 2) посмотрите в учебнике (скажем Михайлов УрЧП) как ставится задача Неймана и как надо выбирать пространство пробных функций

[skrp]

Огромное спасибо!