Алгебраическое дополнение к элементам неотрицательно матрицы

[wormer]

Еще раз добрый день!

Пусть $A = ||a_{i j}||$_1^n неразложимая неотрицательная матрица с максимальным характеристическим числом $r$. Обозначим через $A_{i j}(\lambda)$ алгебраическое дополнение к элементу $\lambda \delta_{i j} - a_{i j}$ в определителе $A(\lambda) = |\lambda E - A|$. Известно, что $A_{i j}(\lambda) > 0$, когда $\lambda \geqslant r$. Можно ли написать какую-либо оценку сверху для этой величины? Например $A_{i j}(\lambda) \leqslant a_{i \star}$, где через $a_{i \star}$ обозначена сумма элементов $i$ строки матрицы $A$.

Спасибо.

[Vince Diesel]

wormer в сообщении #889045 писал(а):

Можно ли написать какую-либо оценку сверху для этой величины? Например $A_{i j}(\lambda) \leqslant a_{i \star}$, где через $a_{i \star}$ обозначена сумма элементов $i$ строки матрицы $A$.

Ну, такая не пойдет. Правая часть не зависит от $\lambda$, а левая зависит. Например, для единичной матрицы второго порядка $A_{ii}=\lambda-1$. При $\lambda>2$ оценка верна не будет.

[wormer]

Ну хорошо, может быть эта оценка верна для $\lambda = r$: $A_{i j}(r) \leqslant a_{i \star}$, или хотя бы так $A_{i i}(r) \leqslant a_{i \star}$?

Дело в том, что в одной книге написано, что для стохастической матрицы P "легко непосредственно проверить, что" $P_{i i}(1) \leqslant 1$. Я не понимаю, почему это верно и как это проверить.