Задача нормального распределения случайной величины

[Дуняша]

Здравствуйте!
Очень прошу помочь мне!
Два стрелы должны попасть в круг радиуса 10 см. Какова вероятность того, что хотя бы одна стрела попадет в этот круг, если отклонения по осям x,y, проведенным на плоскости круга из центра круга распределены по нормальному закону N( 0,8 ).

Вот, что я думаю:
P(\alpha<X<\beta)=\frac {1} {2} (F(\beta)-F(\alpha))
F - функция Лапласа
\alpha=\frac {a-m} {\sigma \sqrt{2}}
\beta=\frac {b-m} {\sigma \sqrt{2}}
a и b - границы интервала, куда попадает случайная величина.
В данном случае, это а=-10 b=10.
Тогда можно найти по оси Х:
\alpha=\frac {-10-0} {8 \sqrt{2}}= -0.88
\beta=\frac {10-0} {8 \sqrt{2}}= 0.88
P(-10<X<10)=0.5 (F(0.88)-F(-0.88))
Ну по таблицам я найду функции Лапласа.
Далее делаем аналогичные вычисления по оси У:
\alpha=\frac {-10-0} {8 \sqrt{2}}= -0.88
\beta=\frac {10-0} {8 \sqrt{2}}= 0.88
P(-10<Y<10)=0.5 (F(0.88)-F(-0.88))

Потом, т.к. мы имеем двумерный случай, то нужно перемножить эти вероятности:
P=P(-10<Y<10)*P(-10<X<10)

Начало правильное?
А дальше нужно как-то, исходя из этой вероятности, вычислить вероятность попадания хотя бы одной стрелы. В этом-то и затруднение.
Подскажите, пожалуйста! Очень прошу!

[PAV]

Есть ошибки. Во-первых, в формуле не должно быть ни $\sqrt{2}$ в знаменателе, ни дроби $\frac{1}{2}$ перед функцией $F$.

Во-вторых, перемножая вероятности попадания по осям Вы получаете событие, что стрела попадет в квадрат, а не в круг. Чтобы найти вероятность попадания в круг, нужно поступить более хитро. Отклонения по осям есть нормально распределенные случайные величины $X$ и $Y$. Квадрат расстояния от точки попадания до центра равен $X^2+Y^2$. Чтобы стрела попала в круг, он должен быть меньше 100. Это распределение относится к типу Хи-квадрат в двумя степенями свободы (только умноженное на некоторую константу). Вот в этом и разберитесь, а дальше воспользуйтесь таблицами этого распределения.

[Someone]

PAV писал(а):

Есть ошибки. Во-первых, в формуле не должно быть ни $\sqrt{2}$ в знаменателе, ни дроби $\frac{1}{2}$ перед функцией $F$.

Надо уточнить, как определяет Дуняша функцию Лапласа. Если

$$\Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt$$

, то Вы правы. Но, может быть, имеется в виду

$$\Phi(x)=\frac 2{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^xe^{-t^2}dt$$

, тогда формулы были написаны правильно, только, вероятно, имелась в виду вероятность $\mathrm P(a<X<b)$.

Сейчас просматривал свою литературу по теории вероятностей, нашлась только одна книга со вторым определением:

П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть II. Москва, "Высшая школа", 1980.

[PAV]

Да, действительно. Интересно, какие умники дают в курсе теории вероятностей такие определения, противоречащие всей остальной литературе, которые заведомо будут в дальнейшем сбивать студентов с толку.... Но в правильном решении (связанном с распределением хи-квадрат) это не важно, там все равно вычисления по другой таблице делаются.

[Дуняша]

Спасибо всем большое за то, что откликнулись.
Someone
Да, действительно, я имела в виду именно такую формулу.

А "Хи-квадрат" - это метод проверки гипотез Пирсона?

А я вот, что нашла у Вентцеля (стр. 147):
Там ищется вероятность того, что точка с координатами (Х, У), которая распределена по нормальному закону, попадет в область эллипса.
Дана формула:
P(X, Y)=1-e^{-\frac{k^2}{2}}
где a=k \sigma_{x}
b=k \sigma_{y}
здесь a и b - размеры полуосей эллипса.
тогда у нас получается \sigma_{x}=\sigma_{y}=8
a=b=10
k=10/8=5/4
P(X, Y)=1-e^{-\frac{25}{32}}

Или это не то?

А где бы можно найти пример применения метода Хи-квадрат? (желательно в интернете)
А то там, где я читала, не очень понятно.

[PAV]

Нет, речь идет не о методе проверки гипотез, а о распределении хи-квадрат. Определение его такое: если случайные величины $X_1,\ldots,X_n$ независимы и имеют стандартные нормальные распределения, то закон распределения суммы их квадратов называется хи-квадрат с $n$ степенями свободы. В Вашей задаче естественным образом возникает распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы (нужно только не забыть умножать слагаемые на такие константы, чтобы получить единичную дисперсию). Таким образом, после нескольких выкладок задача просто сведется к вероятности некоторого события, связанного с этим распределением, которое найдется по его статистическим таблицам.

[GAA]

2PAV
Так не проще?

[Дуняша]

GAA!
Спасибо большое!
Я думаю, что так действительно проще.

[PAV]

Можно и так. В определенном смысле это есть вывод распределения хи-квадрат. В Вашем способе нужно поработать с интегралами, заменить переменные и затем взять интеграл (достаточно простой), в моем - нужно знать про распределение хи-квадрат и заглянуть в таблицу.

Раз уже так, распишу чуть подробнее свое решение. Отклонения от центра мишени $X$ и $Y$ имеют нормальное распределение с нулевыми средними и $\sigma=8$, значит, $\frac{X}{8}$ и $\frac{Y}{8}$ имеют стандартные нормальные распределения, а

$$ Z=\frac{X^2+Y^2}{64} $$

имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Теперь пишем

$$ P\{X^2+Y^2<10^2\}=P\{Z<1.5625\} $$

и остается найти нужную таблицу.

[Дуняша]

Всем большое спасибо за помощь!
У меня еще один вопросик:
Z<1.5625
В таблице есть при степени свободы 2 такие данные:

р 0.1 0.9
z 0.21 4.61

Т.е. конкретно для нас нужного значения нет. Нужно сделать линейную (или другую) интерполяцию?

[GAA]

В случае, когда число степеней свободы равно 2, функция распределения хи-квадрат имеет особо простой вид: F(x) = 1-exp(-x/2) (можно воспользоваться таблицей функции экспонента).

[Дуняша]

Видать, я совсем тупая! Не поняла Вас, GAA!
Так все-таки для нахождения вероятности путем PAV нужно интерполяцию делать? или как? Помогите, пожалуйста! (хоть Вы мне и так помогли очень и очень)

Вообще я люблю и хорошо понимаю математику - все до теории вероятностей.
Всегда знала лучше всех в группе - а вот после теории вероятностей начался завал!
Не могу ее нормально понять, ну и дальше пошло к законам распределения.
Сейчас пытаюсь учить ее по примерам из Венцеля и Гмурмана, еще много чего наскачивала. Во вторник контрольная. Сейчас разбираю задачки, а тут еще расчетная работа и делаю ее по примерам, по теории до нее еще не дошла (хочу последовательно учить).

[PAV]

GAA указал, что для данного распределения зависимость между $p$ и $z$ имеет простой функциональный вид: $p=P(Z<z)=1-\exp(-z/2)$. Подставьте те данные, которые есть в таблице, и убедитесь, что это действительно так. Теперь остается только подставить в эту формулу значение $z=1.5625$ и Вы получите требуемую вероятность.

[Henrylee]

Дуняша писал(а):

P(X, Y)=1-e^{-\frac{25}{32}}

Или это не то?

PAV писал(а):

$p=P(Z<z)=1-\exp(-z/2)$. Подставьте те данные, которые есть в таблице, и убедитесь, что это действительно так. Теперь остается только подставить в эту формулу значение $z=1.5625$ и Вы получите требуемую вероятность.