Объём тела вращения.

[main.c]

Доказать, что объём тела, образованного вращением вокруг полярной оси области $0 \leq \alpha \leq \varphi \leq \beta \leq \pi, 0 \leq r \leq r(\varphi)$ ($\varphi$ и $r$ - полярные координаты), равен

$$V = \frac{2}{3}\pi\int\limits_\alpha^\beta r^3(\varphi)\sin\varphi d\varphi $$

.

Доказательство:
Назовём секторной оболочкой радиуса $R$ межу углов $\varphi_1$ и $\varphi_2$ (другого названия для данной фигуры не нашёл, поэтому придумал сам) фигуру, которую вырезают из шара радиуса $R$ две конические поверхности, с совпадающей осью вращения, направляющие которых составляют с осью углы $\varphi_1$ и $\varphi$ соответственно. Тогда $V_\text{сек. об.} = \frac{2}{3}\pi R^3(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$. Пусть $\Delta V$ - часть искомого объёма между лучами $\varphi$ и $\varphi + \Delta\varphi$. При очень малом $\Delta\varphi$, можно считать, что $\Delta V$ - секторная оболочка между соответствующими лучами, а значит

$$\Delta V = \frac{2}{3}\pi r^3(\varphi)(\sin(\varphi + \Delta\varphi) - \sin\varphi) = \frac{2}{3}\pi r^3(\varphi)(2\sin(\frac{\Delta\varphi}{2}) \sin(\varphi + \frac{\Delta\varphi}{2})) $$

, из этого следует, что

$dV = \frac{2}{3}\pi r(\varphi)^3\sin\varphi d\varphi$

, откуда следует, что искомый объём равен

$$V = \frac{2}{3}\pi\int\limits_\alpha^\beta r^3(\varphi)\sin\varphi d\varphi $$

.

Верно ли моё доказательство? Просьба прокомментировать его и указать на неточности, если таковые имеются.

[iifat]

Вообще-то, производная синуса — косинус. А вовсе не сам же синус. Как-то вы неправильно преобразовали разность синусов.

[ewert]

main.c в сообщении #887967 писал(а):

$V_\text{сек. об.} = \frac{2}{3}\pi R^3(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$

Это неправда. Зато очевидно, что $dV=\frac13\,R\cdot2\pi R\sin\varphi\cdot Rd\varphi$, откуда сразу и следует исходная формула. Раз уж речь о наколенном доказательстве.

[main.c]

ewert в сообщении #888002 писал(а):

main.c в сообщении #887967 писал(а):

$V_\text{сек. об.} = \frac{2}{3}\pi R^3(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1)$

Это неправда. Зато очевидно, что $dV=\frac13\,R\cdot2\pi R\sin\varphi\cdot Rd\varphi$, откуда сразу и следует исходная формула. Раз уж речь о наколенном доказательстве.

А можно пожалуйста поподробнее, почему первое неправда, а второе очевидно? Я ведь в первой формуле вычитаю из объёма одного шарогого сегмента другой - это и есть объём секторной оболочки, где же тут неправда? Ну или хотя бы дайте ссылку, где приводится доказательство данной теоремы. Весь интернет перерыл - есть доказательства любых теорем, но только не этой.