Производная по направлению

[mvb13]

Помогите пожалуйста решить задачу по теории поля

Найти производную от скалярного поля $ u=4ln(3+x^2)-8xyz $ в точке $ M(1,1,1)$ по направлению нормали к поверхности $ S:x^2-2y^2+2z^2=1$ , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ.

Я пытаюсь решать так:
$ \frac{\partial u}{\partial e}(M_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(M_0)cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}(M_0)cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}(M_0)cos\gamma $
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac {8x} {3+x^2} -8yz$ , $\frac{\partial u}{\partial x}(1,1,1)=-6$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-8xz$ , $\frac{\partial u}{\partial y}(1,1,1)=-8$
$\frac{\partial u}{\partial z}=-8xy$ , $\frac{\partial u}{\partial z}(1,1,1)=-8$

У меня возникли следующие проблемы:
1. Я не понимаю какую поверхность описывает данное уравнение
2. Как определить координаты единичного вектора $e=(cos\alpha , cos\beta , cos\gamma )$

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

1. Я не понимаю какую поверхность описывает данное уравнение

Это однополостный гиперболоид.

mvb13 писал(а):

2. Как определить координаты единичного вектора $e=(cos\alpha , cos\beta , cos\gamma )$

Нормальным вектором к поверхности

\[F(x,y,z) = 0\]

будет вектор

\[ (F'_x ,F'_y ,F'_z )\]

. Вам остается отнормировать его и выбрать одно из двух возможных направлений.

[mvb13]

$ F(x,y,x)=x^2-2y^2+2z^2-1=0 $

$ F'_x=2x $ , $ F'_x(1,1,1)=2 $
$ F'_y=-4y $ , $ F'_y(1,1,1)=-4 $
$ F'_z=4z $ , $ F'_z(1,1,1)=4 $

1.Почему возможны 2 направления вектора нормали?
2.Правильно ли я понимаю что теперь нужно найти направляющие косинусы вектора?

[Brukvalub]

mvb13 писал(а):

1.Почему возможны 2 направления вектора нормали?

Вектор , противоположный к нормальному вектору - тоже нормальный.

mvb13 писал(а):

2.Правильно ли я понимаю что теперь нужно найти направляющие косинусы вектора?

Да.

[mvb13]

Проверьте меня пожалуйста
У меня получились такие значения для направляющих косинусов :
$cos\alpha=\frac 1 3$
$cos(\pi-\beta)=-cos\beta=-\frac 2 3$
$cos\gamma=\frac 2 3$

[Brukvalub]

Согласен.