2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производная по направлению
Сообщение30.11.2007, 20:11 
Помогите пожалуйста решить задачу по теории поля

Найти производную от скалярного поля $ u=4ln(3+x^2)-8xyz $ в точке $ M(1,1,1)$ по направлению нормали к поверхности $ S:x^2-2y^2+2z^2=1$ , образующей острый угол с положительным направлением оси OZ.

Я пытаюсь решать так:
$ \frac{\partial u}{\partial e}(M_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(M_0)cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}(M_0)cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}(M_0)cos\gamma
$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac {8x} {3+x^2} -8yz$ , $\frac{\partial u}{\partial x}(1,1,1)=-6$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-8xz$ , $\frac{\partial u}{\partial y}(1,1,1)=-8$
$\frac{\partial u}{\partial z}=-8xy$ , $\frac{\partial u}{\partial z}(1,1,1)=-8$

У меня возникли следующие проблемы:
1. Я не понимаю какую поверхность описывает данное уравнение
2. Как определить координаты единичного вектора $e=(cos\alpha , cos\beta , cos\gamma )$

 
 
 
 
Сообщение30.11.2007, 20:23 
Аватара пользователя
mvb13 писал(а):
1. Я не понимаю какую поверхность описывает данное уравнение
Это однополостный гиперболоид.
mvb13 писал(а):
2. Как определить координаты единичного вектора $e=(cos\alpha , cos\beta , cos\gamma )$
Нормальным вектором к поверхности \[F(x,y,z) = 0\] будет вектор \[
(F'_x ,F'_y ,F'_z )\]. Вам остается отнормировать его и выбрать одно из двух возможных направлений.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2007, 13:50 
$ F(x,y,x)=x^2-2y^2+2z^2-1=0 $

$ F'_x=2x $ , $ F'_x(1,1,1)=2 $
$ F'_y=-4y $ , $ F'_y(1,1,1)=-4 $
$ F'_z=4z $ , $ F'_z(1,1,1)=4 $

1.Почему возможны 2 направления вектора нормали?
2.Правильно ли я понимаю что теперь нужно найти направляющие косинусы вектора?

 
 
 
 
Сообщение01.12.2007, 15:04 
Аватара пользователя
mvb13 писал(а):
1.Почему возможны 2 направления вектора нормали?
Вектор , противоположный к нормальному вектору - тоже нормальный.
mvb13 писал(а):
2.Правильно ли я понимаю что теперь нужно найти направляющие косинусы вектора?
Да.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2007, 16:44 
Проверьте меня пожалуйста
У меня получились такие значения для направляющих косинусов :
$cos\alpha=\frac 1 3$
$cos(\pi-\beta)=-cos\beta=-\frac 2 3$
$cos\gamma=\frac 2 3$

 
 
 
 
Сообщение01.12.2007, 16:46 
Аватара пользователя
Согласен.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group