Криволинейные координаты

[nevezhda]

Насколько я понял, физики используют два типа криволинейных координат (два типа полярных, два типа цилиндрических и два типа сферических).

Например, в случае полярных координат:
Первый тип - это модуль и угол (например, в случае радиус-вектора - это его длина и угол между радиус-вектором и осью OX).
Второй тип - это проекция на направление радиус-вектора и проекция на ось, перпендикулярную к радиус-вектору (например, в случае скорости планеты - это скорость улетания от Солнца и линейная скорость вращения вокруг Солнца).

Аналогично, для сферических координатах какого-либо вектора $\vec{a}$:
Первый тип: $\vec{a}=(\lvert \vec{a} \rvert, \theta, \varphi)$ - модуль и углы направления вектора.
Второй тип: $\vec{a}=(a_r, a_\theta, a_\varphi)$ - проекции на три ортогональных единичных вектора.

Вопросы:
a) Есть ли уточняющие названия, позволяющие различать эти два типа полярных координат (а заодно цилиндрических и сферических)?
б) Правильно ли я понял, что в физике на "углосодержащие" координаты разлагают только радиус-векторы, а векторы всех остальных физических величин разлагают только по ортогональным единичным векторам?

[Munin]

"Первый тип" - это, по сути, координаты не радиус-вектора, а точки пространства. В криволинейных координатах, о точках не говорят как о радиус-векторах. Все остальные векторы - локальные, отложены от данной точки пространства, и все они находятся в одном векторном пространстве с линейной системой координат, и с базисом из ортогональных единичных векторов $\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi.$ Эти векторы можно между собой складывать, умножать и т. п. - по правилам векторной алгебры. А радиус-векторы с ними - нельзя. Точнее, можно только к радиус-вектору прибавить такой локальный вектор, и получится новый радиус-вектор. И это прибавление произойдёт по нелинейным формулам (если локальный вектор не бесконечно малый).

[nevezhda]

Спасибо.
Из Вашего ответа я попробовал сформулировать ответы на свои вопросы:
а) Уточняющих названий нет. Если написано "сферические координаты ВЕКТОРА" (а не точки), то ВСЕГДА имеется в виду разложение не по модулю и углам, а по проекциям на орты.
б) Да. Более того, в криволинейных координатах, о точках не говорят как о радиус-векторах.

Если я не так понял, просьба поправить.

[Munin]

nevezhda в сообщении #887727 писал(а):

Если написано "сферические координаты ВЕКТОРА" (а не точки), то ВСЕГДА имеется в виду разложение не по модулю и углам, а по проекциям на орты.

Ну, по-хорошему, должно быть так. Но авторы разные, и некоторые сами не очень чётко разбираются в терминологии (это не относится к общеизвестным и получившим всенародное признание учебникам), так что стоит проверять, что именно автор имеет в виду.

Вообще, стоит всегда проделывать выкладки вслед за автором.

nevezhda в сообщении #887727 писал(а):

Да. Более того, в криволинейных координатах, о точках не говорят как о радиус-векторах.

Может быть, иногда и говорят. Когда рассматриваются и декартовы координаты, и криволинейные. Некоторые физические авторы довольно неаккуратны в математическом смысле.

Советую прочитать вот это вот: http://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates

Главная идея такая: есть иерархия разных ситуаций.
I. Всё пространство - искривлённое (имеет кривизну), и поэтому прямолинейных координат в принципе быть не может. Тогда используется наиболее общий математический аппарат: метрический тензор, ковариантные и контравариантные векторы.
II. Пространство - плоское, и значит, в принципе может быть описано также и декартовыми координатами. Криволинейные координаты бывают таких разновидностей:

II.1. Произвольные криволинейные координаты. Тогда тоже есть ковариантные и контравариантные векторы, но формулы упрощаются за счёт перехода к декартовым координатам, когда надо.
II.2. Ортогональные криволинейные координаты. Тогда локальные базисные векторы всегда ортогональны. Их можно нормировать, и получить ортонормированный локальный базис. Исчезает необходимость различать ковариантные и контравариантные векторы. Вместо метрического тензора используются коэффициенты Ламе (Ляме).

II.2.i. Частным случаем ортогональных криволинейных координат являются ортогональные прямолинейные координаты - декартовы. В них формулы прибавления вектора перемещения к точке получаются вида $\mathbf{r}+\Delta\mathbf{r},$ то есть, как векторное сложение. И точку имеет смысл описывать как радиус-вектор.

-- 15.07.2014 20:00:45 --

Физики в большинстве случаев пользуются II.2.i и II.2 - декартовыми координатами, полярными, сферическими, цилиндрическими, элллиптическими. Иногда, для сложных замен переменных в уравнениях, и для описания движения сплошной среды, используются II.1 - произвольные криволинейные координаты. И наконец, только в наиболее сложных случаях, таких как общая теория относительности, описывающая гравитационное искривление пространства-времени, применяется случай I.

[Утундрий]

Или так...

Есть плоское пространство, в нём удобно ввести ПДСК. Но можно вместо ПДСК ввести кривоугольно кривонормированные кривокоординаты (ККК). И рассмотреть всё то же самое, что и до этого, в ККК. А потом заявить, что жэ-мю-ню, использующаяся в ККК, может быть не только такое, как до того было, а вообще совсем-совсем произвольное. И всё, кривизна введена

[Munin]

Утундрий
Бяка как раз в том, что для "ККК", введённых в плоском пространстве, возможны более простые описания, пользующиеся тем, что $R^\lambda_{\mu\nu\rho}=0.$ Не уверен, но кажется, в том числе, вообще не использующие $g_{\mu\nu}.$

nevezhda
Не обращайте внимания. Это как раз разговор на уровне "случая I" - на языке ОТО и римановой геометрии.

[Утундрий]

Ну, не знаю. Кроме прямоугольных декартовых (а гармонические в кривом случае именно к ним стремятся) ничего такого не знаю. Даже самая плоская метрика может быть удивительным образом испохаблена самым безобидным преобразованием координат до полной неузнаваемости.

[Munin]

Фишка в том, что есть фон. И вместо $g_{\mu\nu}$ можно пользоваться функциями преобразования к фону и из него. Что проще, поскольку $g_{\mu\nu}$ квадратична, а эти функции линейны.

-- 16.07.2014 00:00:42 --

= У всех точек на всех одно касательное пространство. Разве это не здорово?