Алгебра Ли и диагонализуемые элементы

[Felt]

Натолкните на мысль как это доказать: Пусть V векторное пространство размерности n, $L=gl(V)$. Если $x \in L$ диагонализуемый элемент с собственными значениями $\lambda_1, \lambda_2... \lambda_n$, то $ad x$ диагонализуемый элемент $gl(L)$. Собственные числа $ad x$ $\lambda_i - \lambda_j$, где $1 \leq i,j \leq n$

Пытался доказать с помощью подстановки $x=r^{-1} d r$, но это ничего толком не даёт. Можно так же попробовать выбрать y в качестве собственного элемента так, чтобы i-столбец был собственным вектором x, тогда выходит некоторое подобие
$ad x (y_i)=[x, y_i]=xy_i - y_i x=\lambda_i y_i - y_i x$, где $y_i=(0,0,..0, v_i ,0,... 0,0)$, $v_i$ -собственный вектор x.
Но это тоже не то. Пытаться комбинировать x из какого-нибудь базиса такого, чтобы получался нужный итог мне тоже показалось неперспективным...

[Felt]

неужели никаких мыслей? Пару дней уже ломаю голову над этой задачей и безумно интересно узнать как это доказать

[Lia]

Felt
Замечание за искусственный подъем темы.

[takeover]

Хочу заметить, что вы не имеете права говорить о матрицах, пока не фиксировали базис пространства.
Ну и зафиксируйте тогда базис из собственных векторов вашего оператора $x$. Ну а дальше все очевидно уже быть должно.

[Felt]

Да, у меня уже получилось решить, ответ: если $x=r \cdot d \cdot r^{-1}$, где d - диагональная матрица, тогда собственные элементы будут $v_{ij}=r \cdot e_{ii} e_{jj} r^{-1}$ для $i,j \in \widehat{n}$