Рассудите, кто прав: задача для волнового уравнения

[peregoudov]

Я прошу участников форума выступить арбитрами в следующем споре.

На форуме физфака в теме "Кажущиеся парадоксы СТО" я привел решение одной задачи для одномерного волнового уравнения
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=356294

Как можно видеть из дальнейшео развития темы, некто morozov (известный на этом форуме как МОРОЗОВ) не согласился с решением, в результате чего через некоторое время появилась тема "деформация стержня при внезапном ускорении концов", в которой Морозов привел свое решение
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357806

Несмотря на то, что я представил конкретные возражения по решению Морозова
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357856
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=357949

расписал все пункты претензий подробно
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060

а также дал Морозову конкретные ссылки для ознакомления с предметом
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=358012

содержательной дискуссии не получилось. В результате Морозов попросил меня выставить решения здесь, чтобы участники форума выступили в качестве экспертов и дали свою оценку одному и другому решениям. Что я и делаю.

Для удобства копирую исходные посты здесь. Мое решение:

Цитата:

На всякий случай написал нерелятивистскую задачу. Пусть закон движения точек троса описывается функцией x(t,s), s --- расстояние вдоль нерастянутого троса. Тогда классическая задача выглядит так

$$\begin{array}{l}x_{tt}=c^2x_{ss},\\ x(0,s)=s,\quad x_t(0,s)=0,\\ x(t,0)=at^2\!/2,\quad x(t,l)=l+at^2\!/2. \end{array} $$

Вводим новую функцию u(t,s)

$$x(t,s)=s+at^2\!/2-as(l-s)/2c^2+u(t,s).$$

(опечатка: поправлен знак в одном из членов)
Для нее получаем задачу

$$\begin{array}{l}u_{tt}=c^2u_{ss},\\ u(0,s)=as(l-s)/2c^2,\quad u_t(0,s)=0,\\ u(t,0)=0,\quad u(t,l)=0. \end{array} $$

(опечатка: поправлен знак в начальном условии)
Решение этой задачи мгновенно выписывается по формуле Даламбера

$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)],$$

нужно только продолжить начальное условие за границы интервала $[0,l]$ нечетным образом. Из формулы Даламбера видно, что величина u(t,s) и ее производные остаются ограниченными на всем временном интервале. Поэтому растяжение троса

$$\varepsilon=x_s=1-a(l-2s)/2c^2+u_s$$

(опечатка: поправлен знак в одном из членов)
также остается ограниченным.

Решение Морозова:

Цитата:

решение на самом деле не представляется чем-то особенным... мне даже кажется, что что-то похожее я где-то видел
извините за корявость, я не вижу смысла преподносить ЭТО как нечто...




Эти картинки будут периодически повторятся.
Похожа другая задача с простейшим решением. Ели мы заменим граничные условия на du/dx=0 (акустически мягкая граница). Волна при отражении будет инвертироваться и последняя картинка будет зеркальной относительно горизонтальной оси.
Картинкака также будет периодически повторятся.....
впрочем это нетрудно продолжить самостоятельно, как и решить другие подобные задачи

P. S. Прошли сутки, 61 просмотр и 0 ответов. Добавляю голосовалку. Может быть, так участникам будет легче высказаться?

[MOPO3OB]

поглядите КАК выглядит решение в численном виде (конечные разности)... (разрыв естественно размазывается за счет сетки)

http://moro3ov.chat.ru/gif/impul.exe

эта задача эквивалентна внезапному появлению сил на концах...это намного проще и понятнее..
.
я выдал немного слишком замысловатое решение....

[Zai]

При переходе в неинерциальную систему координат уравнение будет иметь вид:
$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}
$u(x,0)=0
$u(0,t)=0
Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:
$u(x,t)=\frac {a(t-x/c)^2} 2 - \frac {at^2} 2 для $x<ct
$u(x,t)= -\frac {at^2} 2 для $x>ct

[peregoudov]

Процесс пошел...

За ночь удвоилось число просмотров, теперь их 133. Голосовалка, по-видимому, сработала.

Zai писал(а):

Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:

Именно это решение приведено по ссылке
http://forum.dubinushka.ru/index.php?sh ... t&p=359060
в первом посте (пункт 5, вторая картинка и выключная формула перед ней).

[MOPO3OB]

Zai писал(а):

При переходе в неинерциальную систему координат уравнение будет иметь вид:
$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}
$u(x,0)=0
$u(0,t)=0
Решение до момента времени, когда начнется суперпозиция возмущений, для левого конца имеет вид:
$u(x,t)=\frac {a(t-x/c)^2} 2 - \frac {at^2} 2 для $x<ct
$u(x,t)= -\frac {at^2} 2 для $x>ct

однако откуда это взялось?

у вас (нас) СКАЧКООБРАЗНАЯ сила в правой части $u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=\frac a {c^2}

если решать это уравнение то решение просто нулевое. при начальных условиях u=0

справа и слева фиксированные напряжения возникают и не растут надо добавить ступенчатую функцию (Хевисайда) в правой части.... $u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=H(t)\frac a {c^2}

сравните с численным решением
http://moro3ov.chat.ru/gif/impul.exe

Добавлено спустя 6 минут 24 секунды:

Цитата:

в первом посте (пункт 5, вторая картинка и выключная формула перед ней).

по теме, Сэр! если можно... решается именно то уравнение которое вы изволили оплевать .....

[Brukvalub]

Новые веяния в теории доказательств - правильным признается решение математической задачи, набравшее большинство голосов тайным голосованием! Вот она - демократия в действии. А администрация США во главе с Бушем - в восторге!

[peregoudov]

2 Brukvalub
А Вы внимательно прочитайте первый пост. Там объясняется, почему вопрос о правильности приходится решать таким методом.

Кстати, почему не голосуем?

[MOPO3OB]

Цитата:

Новые веяния в теории доказательств - правильным признается решение математической задачи, набравшее большинство голосов тайным голосованием! Вот она - демократия в действии. А администрация США во главе с Бушем - в восторге!

теперь задачи решаются тайным голосованием... А законы природы принимаются в ГД.
куда там Бушу...

Добавлено спустя 3 минуты 58 секунд:

Цитата:

некто morozov (известный на этом форуме как МОРОЗОВ) не согласился с решением

неточно, я его там просто не нашел. нет никакого решения, даже ошибочного.

[Brukvalub]

peregoudov писал(а):

2 Brukvalub
А Вы внимательно прочитайте первый пост. Там объясняется, почему вопрос о правильности приходится решать таким методом.

Так я не только первый пост прочитал, но и решение. И, как я понял, спор-то идет не о правильности математического решения, а о правильности той или иной записи какой-то физической задачи на языке уравнений мат. физики. Но тогда, на мой взгляд, лучше спросить об этом физиков, а не переносить свои разборки в мат. отдел, и потом удивляться, что там вяло голосуют. У нас и своих разборок с "ферматистами" хватает. А голосованием решать вопрос о правильности решения математической задачи мне кажется диким, вот я и высказался.

peregoudov писал(а):

Кстати, почему не голосуем?

Вот куплю костюм клоуна, и проголосую. Пошёл покупать...

[Андрей123]

too peregudov
По-моему полученное Вами решение для u:$u(t,s)=\frac{a}{2 c^2}(sl-s^2)-\frac{1}{2}t^2$,- не удовлетворяет граничным условиям.

[peregoudov]

Brukvalub писал(а):

И, как я понял, спор-то идет не о правильности математического решения, а о правильности той или иной записи какой-то физической задачи на языке уравнений мат. физики.

Вы неправильно поняли. Спор (если это вообще можно назвать спором) идет именно о решении математической задачи. Постановка приведена в первом посте (цитата с моим решением). Что у Морозова постановка другая (и что я это прокомментировал, см. ссылки в первом посте) --- это другой вопрос. Обратите внимание на пункты голосования. Вам не предлагается сравнивать мое решение с Морозовским. Вам предлагается независимо оценить правильность одного и второго решения (пусть даже разных задач). Так что раздел форума, ИМХО, выбран правильно. Если Вы к тому же окажетесь в состоянии разобраться, какая из постановок соответствует физический ситуации (или обе не соответствуют), то будет совсем здорово.

Brukvalub писал(а):

А голосованием решать вопрос о правильности решения математической задачи мне кажется диким, вот я и высказался.

Тут Вы тоже неправильно поняли, почитайте внимательнее (возможно, стоит почитать тему на "Дубине").

Добавлено спустя 7 минут 3 секунды:

2 Андрей123
Откуда Вы взяли приведенную Вами формулу? У меня такой нет.

Граничные условия, разумеется, выполняются. Разберемся с $s=0$. Начальное условие $u(0,s)$ продолжается за границы интервала $[0,l]$ нечетным образом, то есть продолженная функция удовлетворяет соотношению
$u(0,s)=-u(0,-s)$.
Теперь возьмем решение при $s=0$
$u(t,0)=\frac12[u(0,-ct)+u(0,ct)]=0$
в силу предыдущего равенства. Случай $s=l$ рассматривается аналогично.

[MOPO3OB]

немного уточню задачу....

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=H(t)\frac a {c^2}
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(х,0)=0
$u(l,t)=0
$u(0,t)=0

и эквивалентная

$u_{xx}-\frac 1 {c^2} u_{tt}=0
H(t) - ступенчатая функция (Хевисайда)
$u(x,0)=0
$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

возможно с точностью до множителя

[Андрей123]

peregoudov писал(а):

Для нее получаем задачу

$$\begin{array}{l}u_{tt}=c^2u_{ss},\\ u(0,s)=as(l-s)/2c^2,\quad u_t(0,s)=0,\\ u(t,0)=0,\quad u(t,l)=0. \end{array} $$

(опечатка: поправлен знак в начальном условии)
Решение этой задачи мгновенно выписывается по формуле Даламбера

$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)],$$

$$u(t,s)=\frac12[u(0,s-ct)+u(0,s+ct)]=\frac12[a(s-ct)(l-s+ct)/2c^2+a(s+ct)(l-s-ct)/2c^2]=\frac{a}{2 c^2}(sl-s^2)-\frac{1}{2}t^2$$

[MOPO3OB]

Цитата:

ради бога ПОСМОТРИТЕ к какой задаче это формула
__________________________________________________________
а u у нас что будет?

смещение или коородината?


это про координату конца, и про смещение сразу .....

откуда это начальное условие?
В начальный момент никаких напряжений (смещений) нет... девственная железка...

[Zai]

MOPO3OB писал(а):

$u(l,t)=H(t)\frac a {c}
$u(0,t)= - H(t)\frac a {c}

Если концы стержня двигаются с постоянным ускорением, то вышеприведенные граничные условия должны это отражать.