Пересечения прямоугольников

[ewert]

Skeptic в сообщении #886956 писал(а):

предложенная задача не удовлетворяет условиям теоремы Хелла.

Условия этой задачи -- частный случай условий теоремы Хелли.

[Skeptic]

ewert в сообщении #886957 писал(а):

Skeptic в сообщении #886956 писал(а):

предложенная задача не удовлетворяет условиям теоремы Хелла.

Условия этой задачи - частный случай условий теоремы Хелли.

Наоборот, одно из частных пересечений трёх прямоугольников удовлетворяет условиям теоремы Хелла. В ней требуется, чтобы три пересекающиеся множества (3 прямоугольника) имели общую точку, а в ТС надо доказать, что такая точка существует при любом пересечении.

[Otta]

Skeptic, Вы не могли бы сформулировать, какую теорему Вы имеете в виду? У меня в течение всего топика ощущение, что она у Вас какая-то своя.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Так он прямо об этом говорит (и не раз): у него теорема Хелла, а не Хелли

[Otta]

(Оффтоп)

А, вона чё, Михалыч.

[Skeptic]

Otta в сообщении #887064 писал(а):

Skeptic, Вы не могли бы сформулировать, какую теорему Вы имеете в виду? У меня в течение всего топика ощущение, что она у Вас какая-то своя.

Уж точно не ваша из Википедии, а

Д. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Кли ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ, «МИР» Москва 1968г писал(а):

Теорема Хелли. Пусть $K $ — семейство из не менее чем $n + 1$ выпуклых множеств в $n$-мерном аффинном пространстве $R^n$, причем $K$ конечно или каждое множество из $K$ компактно. Тогда, если каждые $n + 1$ из множеств семейства $K$ имеют общую точку, то существует точка, общая всем множествам семейства.

Пользоваться нужно авторитетными источниками, а не теми, до которых легче дотянуться.

[Otta]

Skeptic
Очень хорошо, спасибо.
Ваша конфигурация из попарно пересекающихся прямоугольников не удовлетворяет условию задачи

TopLalka в сообщении #885577 писал(а):

доказать, что если любые три прямоугольника из некоторого множества пересекаются, то существует точка, которая принадлежит всем им.

О нескольких (неважно скольких) множествах говорят, что они пересекаются, если их пересечение непусто. То есть да, каждые три прямоугольника должны иметь общую точку. По условию. Сравните с процитированной Вами теоремой, пожалуйста.

-- 14.07.2014, 11:03 --

Кстати, для интереса глянула, что там в Википедии. Напрасно Вы на нее бочку катите в данном случае, там в точности Ваша формулировка.

[Skeptic]

Википедия писал(а):

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. $X_1,X_2,\dots,X_n$
есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства $R^d$, такое что пересечение любых $d+1$ из них непусто, то есть $\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\emptyset$..

Никаких общих точек. Это не теорема Хелли.

Otta
Прямоугольники пересекаются не попарно, а каждый с двумя другими. Возьмём три линии. Построим из них треугольник и трёхлучевую звезду. В каких случаях имеется пересечение, или по-вашему в треугольнике линии не пересекаются?
Поэтому в этой теме я начал с уточнения типа пересечения. Если в ТС потребовать выпуклое пересечение, то доказательство единой точки возможно.

[Otta]

Skeptic в сообщении #887378 писал(а):

или по-вашему в треугольнике линии не пересекаются?

Нет. Их пересечение как системы множеств пусто.

Еще раз: Вы путаете понятия "попарно пересекаться" и "пересекаться". О системе множеств говорят, что они не пересекаются, если их пересечение пусто. То есть они не содержат общей точки (хотя бы одной на всех).

Еще раз прочитайте теорему, пожалуйста, и пересмотрите свои взгляды на понятие пересечения.

Совсем простой пример, для наглядности: непусто ли пересечение отрезков $[0,1],[1,2],[2,3]$?

[Skeptic]

Если пересечение содержит только точки общие для всех множеств, то требование в теореме Хелли общей точки избыточно. И это не заметили за 100 лет?

[Otta]

Эти требования равносильны. И Вы привели две формулировки - в одной указано одно из них, в другой другое. Они нигде не дублируются.

[Skeptic]

Если это так, то в ТС нечего доказывать, т.к. пересечение - это область общих точек. Чтобы это сказать потребовалось несколько страниц. Странно всё это.

[Otta]

Skeptic в сообщении #887427 писал(а):

пересечение - это область общих точек.

Это верно. Где доказывать нечего?

[Skeptic]

Вот здесь.

TopLalka в сообщении #885577 писал(а):

Подскажите как доказать, что если любые три прямоугольника из некоторого множества пересекаются, то существует точка, которая принадлежит всем им.

[kp9r4d]

Skeptic
Там доказывать есть что, если прямоугольники заменить произвольными множествами на плоскости, то утверждение перестанет быть верно.