Потенциальная энергия в функции Лагранжа

[tech]

Здравствуйте.
Начал изучать ЛЛ-1 и застрял на 1 главе. Собственно, прочитал её, приступил к заданиям и начал ощущать, что что-то не даёт мне покоя. Долго не мог сформулировать свою мысль, но, в общем, вот:
Допустим, задача с двойным плоским маятником (стр. 22). В однородном поле тяжести потенциальную энергию каждой из точек можно получить, просто применив одну формулу $U=-( m\vec{g}, \vec{r})$.

Но ведь потенциальная энергия определяется как некоторая функция от координат, с помощью которой описывается взаимодействие частиц. А помимо внешнего поля в такой системе есть взаимодействие посредством этой самой нити (есть сила, действующая на шарик со стороны нити). А взаимодействие это никак не учитывается в функции Лагранжа.

В $§6$ выясняется, что вот эта функция, которую назвали "потенциальной энергией", – это вещь не новая, а та самая "школьная" потенциальная энергия, которая в сумме с кинетической даёт полную механическую энергию системы.

И после этого мой вопрос вроде должен отпасть сам собой, потому что ну какая в этой системе тогда ещё потенциальная энергия (со школы же знаем, какие слагаемые будут в ЗСЭ), но вот что-то меня коробит, ведь должны быть какие-то способы найти потенциальную энергию, понять, где она есть, а где её нет, не прибегая к школьным (или 1 курса) воспоминаниям, должны же быть какие-то методы теоретической механики.

К тому же в школе я надеялся (ибо в школе не давалось какой-то общей теории – все задачи сводились к распознаванию вида потенциального энергии: однородное гравитационное поле, однородное э.с. поле, поле одинокого заряда, ну и энергия растяжения/сжатия пружины), что ситуация прояснится, когда будут более строгие определения и более общие формулировки, но что-то пока не.

В общем, конкретного вопроса у меня сформулировать не получилось, но надеюсь, кто-нибудь прокомментирует мои размышления и тем самым поможет мне разобраться в понятии "потенциальная энергия".

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #886484 писал(а):

Но ведь потенциальная энергия определяется как некоторая функция от координат, с помощью которой описывается взаимодействие частиц. А помимо внешнего поля в такой системе есть взаимодействие посредством этой самой нити (есть сила, действующая на шарик со стороны нити). А взаимодействие это никак не учитывается в функции Лагранжа.

на самом деле в уравнения Лагранжа входят только активные силы, а силы реакций идеальных связей в уравнения Лагранжа не входят (это одна из сильных сторон Лагранжева формализма). http://lib.mexmat.ru/books/78739
Нить в данной задаче является идеальной связью

[Munin]

Не надо отсылать к новым учебникам. Человек взялся за ЛЛ-1, и это уже хорошо. Его бы одолеть бы. Надо только пояснить тёмные моменты.

Да, в теоретической механике, с самого начала, используется идея, что движение частиц может происходить не только свободно во всём пространстве (то есть, все три координаты любой частицы могут принимать любые значения), но и что на них могут быть наложены дополнительные условия, например, такие как $f(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n)=0.$ Например, если частица движется по окружности, то такое условие может быть записано как $x^2+y^2=R^2$ - то есть, геометрическое уравнение окружности. Такие условия в механике называются связями. В общем, при наложении $k$ условий, система $N$ частиц ($3N=n$) может независимо двигаться только в $n-k$ направлениях, а изменение остальных $k$ координат может быть вычислено из условий. При связях вида $f(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n)=0$ получается, что система движется по какому-то $n-k$-мерному подпространству того $n$-мерного пространства, положения в котором она в принципе могла бы занимать. При этом говорят, что у системы $n-k$ степеней свободы, а то пространство, по которому она движется, называют конфигурационным пространством (или иногда, более математически строго, конфигурационным многообразием). О движении системы часто говорят, как о движении точки или частицы в конфигурационном пространстве. Именно в конфигурационном пространстве обычно вводятся обобщённые координаты, так чтобы их количество совпадало со степенями свободы. Например, для связи $x^2+y^2=R^2$ можно ввести обобщённую координату - угол положения точки на окружности, $\varphi,$ и она будет связана с декартовыми координатами преобразованиями $x=R\cos\varphi,\quad y=R\sin\varphi,$ или в обратную сторону, $\varphi=\pm\arccos(x/R)=\pi/2\pm\arccos(y/R)=\pm\arctg(y/x).$

Конечно, когда частица движется по поверхности, указанной связями, она стремится двигаться по прямой линии, и существуют какие-то силы, которые постоянно возвращают её на эту поверхность. Эти силы называются силами реакции связей, или удерживающими силами. Но вот что замечательно: эти силы всегда направлены перпендикулярно этой поверхности! То есть, если рассматривать движение в проекции на поверхность (на касательную плоскость к поверхности), то проекция этих сил зануляется. Их можно вообще не учитывать. Именно об этом сказал Oleg Zubelevich.

Подробный анализ связей, их реакций, и вывода из них уравнений Лагранжа, есть в других учебниках. А Ландау-Лифшиц здесь "срезает углы". Вместо всех этих объяснений, он просто даёт рецепт, как получить функцию Лагранжа для произвольной системы, заданной обобщёнными координатами, это формула (5.5) и ненумерованные формулы перед ней. Но на самом деле, эта функция Лагранжа, даже в случае, когда обобщённых координат меньше, чем декартовых, всё равно "работает", именно в указанном виде.

-- 11.07.2014 16:02:08 --

tech в сообщении #886484 писал(а):

...но вот что-то меня коробит, ведь должны быть какие-то способы найти потенциальную энергию, понять, где она есть, а где её нет, не прибегая к школьным (или 1 курса) воспоминаниям, должны же быть какие-то методы теоретической механики.

Тут ситуация такая. Потенциальная энергия (как функция) не находится методами теоретической механики. Для теоретической механики она "подаётся на вход" математического аппарата, а дальше механика находит движение, соответствующее этой потенциальной энергии. Ситуация такая же, как в ньютоновой механике, где "на вход" подаются силы.

Как найти потенциальную энергию - задача следующая и более сложная. Она решается не теоретической механикой, а другими разделами физики: теорией поля (ЛЛ-2), квантовой механикой (ЛЛ-3) и квантовой теорией поля (ЛЛ-4). Кроме того, часто она не может быть теоретически решена вообще, и приходится использовать функцию, измеренную на эксперименте, "промерянную", как на кораблях эхолотом промеряют профиль дна.

Случаи, которые вам рассказали в школе, - это хорошие модельные случаи. Для них можно разобраться до конца или почти до конца, и найти окончательный ответ на вопрос механики, в "формульном" виде. (То есть, задача решается аналитически.) В то же время, читая про теоретическую механику, стоит представлять себе потенциальную энергию более общего вида, какую-то произвольную (но гладкую) функцию, типа изображённой в ЛЛ-1 на рис. 6:


Надо сказать, что такую энергию можно "сделать искусственно". Например, сделать рельеф местности в виде таких "горок и долин", и пустить по нему тележку на рельсах. Подъём в горку будет сопровождаться повышением гравитационной потенциальной энергии $mgh,$ а поскольку $h=h(x)$ - заданная нами "вручную" функция, то по сути, будет задана $U(x)=mg\,h(x).$ Другой вариант: взять электрон, и пустить его в узкий канал, а на стенки канала нанести заряды в большем или меньшем количестве. Тогда в зависимости от положения электрона, его электрическая потенциальная энергия тоже будет иметь подобную форму.

[tech]

Oleg Zubelevich
Munin
Спасибо за подробные разъяснения.

Munin в сообщении #886545 писал(а):

При связях вида $f(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n)=0$ получается

Вот здесь (и чуть выше) должно быть разве не $f(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_N)=0$?

Munin в сообщении #886545 писал(а):

То есть, если рассматривать движение в проекции на поверхность (на касательную плоскость к поверхности), то проекция этих сил зануляется. Их можно вообще не учитывать.

Но когда мы записываем функцию Лагранжа, мы же зачастую рассматриваем движение в проекциях, к примеру, на оси декартовой системы координат, а не на поверхность, по которой движется материальная точка. А там уже проекция этих сил может не зануляться.

И по поводу потенциальной энергии. Получается, Лагранжева механика работает только с силами вида $\vec{F}=-\operatorname{grad}U$ (то есть с потенциальными силами)?

[Oleg Zubelevich]

tech в сообщении #886725 писал(а):

Получается, Лагранжева механика работает только с силами вида $\vec{F}=-\operatorname{grad}U$ (то есть с потенциальными силами)?

нет , конечно

[Munin]

tech в сообщении #886725 писал(а):

Вот здесь (и чуть выше) должно быть разве не $f(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_N)=0$?

А, ну да. Потом я обозначил число частиц за $N,$ а $n$ - число их декартовых координат. Вы правы. Внимательно читаете.

tech в сообщении #886725 писал(а):

Но когда мы записываем функцию Лагранжа, мы же зачастую рассматриваем движение в проекциях, к примеру, на оси декартовой системы координат, а не на поверхность, по которой движется материальная точка. А там уже проекция этих сил может не зануляться.

Да. Но эту проекцию можно не учитывать, потому что то условие, что точка движется по заданной поверхности - выполняется автоматически. (Например, кроме дифференциальных уравнений движения $\ddot{x}_i=F_i(x_1,\ldots,x_n,\dot{x}_1,\ldots,\dot{x}_n,t),$ для некоторых $i$ из $1\ldots n,$ в систему уравнений движения входят ещё и алгебраические уравнения связей $f_j(x_1,\ldots,x_n)=0$ - точнее, в более общем случае $f_j(x_1,\ldots,x_n,\dot{x}_1,\ldots,\dot{x}_n,t)=0.$ В результате, будет всего $n$ уравнений.)

Доказательство, что и в том, и в другом случае можно использовать одну и ту же функцию Лагранжа, на самом деле, не тривиально. Оно рассмотрено в других учебниках теоретической механики. (Например, Маркеев, или Арнольд, может быть, Савельев, ну и конечно, указанный Oleg-ом Zubelevich-ем
Болотин-Карапетян-Кугушев-Трещев, хотя я никогда не читал его.) Общая идея такая. Чтобы частица оставалась на указанной поверхности, ей можно добавить потенциальную энергию, которая 0 на этой поверхности, и быстро возрастает, как только частица сойдёт с поверхности. Как будто, мы присоединяем к жёсткому стержню частицу не непосредственно, а на очень тугой пружине. Такая добавка прибавляется к функции Лагранжа как добавочный член потенциальной энергии, например, вида $U\to U+K\,f(x_1,\ldots,x_n)^2,$ где потом жёсткость $2K$ можно делать сколь угодно большой, и взять предел $K\to+\infty.$ Но видно, что при всём при этом, на самой поверхности добавка в точности равна нулю, и в проекции на касательную плоскость ни на что не влияет. А уравнения Лагранжа - это, по сути, уравнения Ньютона для движения по касательной плоскости. Поэтому, эта добавка не входит в уравнения Лагранжа, и если учитывать то, что частица удовлетворяет уравнению связи, то во всём остальном математическом аппарате можно про неё вообще забыть.

tech в сообщении #886725 писал(а):

И по поводу потенциальной энергии. Получается, Лагранжева механика работает только с силами вида $\vec{F}=-\operatorname{grad}U$ (то есть с потенциальными силами)?

По крайней мере, базовый вариант лагранжевой механики, изложенный в ЛЛ-1, - да. И этого достаточно для 99 % всех применений лагранжевой механики в теоретической физике.

Есть всякие дополненные и расширенные варианты лагранжевой механики. Например, бывает, что нужно учесть трение, то есть, сила при этом зависит от скоростей, например, типичная сила вязкого трения выглядит как $\vec{F}=-\kappa\vec{v}.$ В этом варианте, энергия не сохраняется (теряется), и сразу "портятся" хорошие результаты теоретической механики, например, относящиеся к энергии и к другим законам сохранения.

Есть ещё довольно важный класс сил, которые, на самом деле, укладываются в базовый вариант лагранжевой механики, но не являются потенциальными. Это "силы, перпендикулярные скорости", такие как сила Кориолиса $2m[\vec{v}\,\vec{\Omega}]$ во вращающейся системе координат, и сила Лоренца $(q/c)[\vec{v}\vec{B}]$ в магнитном поле. Чтобы их учесть, к функции Лагранжа добавляют слагаемое, зависящее от скорости, причём линейное по скорости, а не квадратичное, как кинетическая энергия. Это добавка $m\vec{v}\,[\vec{\Omega}\,\vec{r}\,]$ или $(q/c)\vec{v}\vec{A}.$ Она называется обобщённым потенциалом (просто потенциальная энергия часто в теоретической механике называется просто потенциалом), а такие силы, которые могут быть представлены в виде $-\operatorname{grad}U-[\vec{v},\operatorname{rot}\vec{A}\,],$ - обобщённо-потенциальными.

По сути, теоретическая физика больше имеет дело с физическими системами, укладывающимися в рамки лагранжевой механики, чем с системами, укладывающимися в рамки ньютоновой механики. Именно лагранжева механика оказалась достаточно универсальной, чтобы представить (формально-математически) в виде механических систем такие физические системы, которые механическими не являются: оптику, электромагнитное поле, разные другие поля, взаимодействия и явления. Для таких систем, слово "механика" употребляется в переносном смысле, как способ теоретического описания, математически схожий до совпадения с теоретической механикой. Также в этом смысле употребляется слово лагранжев формализм. И более того, это не просто совпадение, но и связь разных явлений. Если есть физическое явление, включающее в себя разные области физики, например, механическое движение и электрическое поле, то для того, чтобы составить законы этого явления, можно просто сложить функции Лагранжа для механической и электрической теории, точно так же, как это делается для двух механических систем, приведённых во взаимодействие между собой. Таким образом, все физические теории можно "состыковать" через действие и функцию Лагранжа, если только они уже выражены на этом языке. Такие "состыкованные" теории будут правильно описывать влияние явлений друг на друга, и в том числе, передачу и превращение энергии. (Как вы знаете, энергия - универсальная величина, которая характеризует явления самых разных областей физики.)

Таким образом, главное применение теоретической механики в современной теоретической физике вообще мало связано с механикой - как областью физических явлений, где катаются шары, качаются маятники, и т. п.

[tech]

Munin
Спасибо. Хочу ещё задать пару вопросов по поводу задачи после $§8$ (с. 30-31).
1) Верно ли я понимаю, что это преобразование верно только для замкнутой системы?
Пусть в некоторой ИСО:
$L=\frac{1}{2}\sum\limits_{a} m_a v_a^2-U(\vec r_1,..,\vec r_n)$
В другой ИСО:
$L'=\frac{1}{2}\sum\limits_{a} m_a {v_a'}^2-U(\vec {r_1'},..,\vec {r_n'})$
В решении используется, что $U(\vec r_1,..,\vec r_n)$ совпадает с $U(\vec {r_1'},..,\vec {r_n'})$
Но это верно только когда нет внешнего поля; в таком случае потенциальная энергия зависит только от взаимного расположения частиц, и вид её сохраняется при переходе от одной ИСО к другой.
2) $S=S'+\mu\vec{V}\vec{R'}+\frac{1}{2}\mu V^2t$ бредово выглядит.
Здесь должно быть $S=S'+\mu\vec{V}(\vec{R'}(t)-\vec{R'}(0))+\frac{1}{2}\mu V^2t$.
Или (что то же самое, если система замкнута) $S=S'+\mu\vec{V}\vec{V'}t+\frac{1}{2}\mu V^2t$.

[Munin]

tech в сообщении #887325 писал(а):

1) Верно ли я понимаю, что это преобразование верно только для замкнутой системы?
...
Но это верно только когда нет внешнего поля; в таком случае потенциальная энергия зависит только от взаимного расположения частиц, и вид её сохраняется при переходе от одной ИСО к другой.

Да, верно.

Кстати, как вы относитесь к тому, чтобы обозначать векторы полужирным шрифтом? Это красивее, "как в книжках", и мне привычнее. И в ЛЛ-1 именно так написано.

tech в сообщении #887325 писал(а):

2) $S=S'+\mu\vec{V}\vec{R'}+\frac{1}{2}\mu V^2t$ бредово выглядит.
Здесь должно быть $S=S'+\mu\vec{V}(\vec{R'}(t)-\vec{R'}(0))+\frac{1}{2}\mu V^2t$.

Ну, слагаемое $\mu\mathbf{V\,R}'(0)$ - просто константа. Его можно прибавлять и отнимать от действия, ничего не изменится.

Даже функцию Лагранжа определяют с точностью до полной производной от любой функции координат и времени. А уж на константы можно совсем уже внимания не обращать.

[tech]

Munin
Да-да-да. Просто я поначалу смотрел на это $t$ из формулы как на некоторую константу $t=t_2-t_1$, и, соответственно, воспринимал действие в этом выражении не как функцию времени, а как конкретное число ($S=\int\limits_{t_1}^{t_2} Ldt$), поэтому
$\mu\mathbf{VR'}$ в формуле $S=S'+\mu\mathbf{VR'}+\frac{1}{2}\mu V^2t$ казалось мне странным (число=число+функция+число).
Теперь я понял, что автор просто берёт интеграл с переменным верхним пределом и записывает дейтсвие как функцию времени $S=\int\limits_{0}^{t} Ldt$.
$S(t)=S'(t)+\mu\mathbf{VR'}(t)+\frac{1}{2}\mu V^2t$.

[Oleg Zubelevich]

я бы Вам советовал ознакомиться вот с этим документом: http://booksee.org/book/451237

конечно, с тех пор и соавтор изменился, и книга перерабатывалась, но тем не менее. Мнго позденее и критика Арнольда была. Так, что решайте сами.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Зачем?

Человек читает учебник. Зачем отвлекать его высокими материями, до которых он просто не дорос?

-- 14.07.2014 15:38:00 --

(Книга существенно изменилась, я читал оба текста для сравнения. Небо и земля. Так что критика Фока была не напрасной, в общем-то.)

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Грубые ошибки были ликвидированы , на концептуальном уровне ничего не изменилось. В частности, Фок критикует Ландау за то, что тот положил в основу механики вариационный принцип. Это как было так и осталось, кстати вопросы из стартового поста являются следствием именно такого построения курса. tech должен понимать, что данная книга весьма своеобразна среди прочих курсов механики.

-- Пн июл 14, 2014 17:34:50 --

Есть , например, хороший и вполне традиционный курс Ольховского "курс теор. механики для физиков"

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #887500 писал(а):

Грубые ошибки были ликвидированы , на концептуальном уровне ничего не изменилось. В частности, Фок критикует Ландау за то, что тот положил в основу механики вариационный принцип.

В общем, если Фок Ландау за это и критикует, то зря. И я вам уже объяснял. Роль "Механики" в серии "Теоретическая физика" - дать базу для остальных томов. Поэтому дано то, что необходимо дать: центральное поле и рассеяние, малые колебания, вариационный принцип, Гамильтон и Гамильтон-Якоби. Механических - в смысле связанных с механическими явлениями - тем не затронуто очень много, и это правильно. Пусть не отвлекают. Впереди ещё много материала, в том числе технически сложного. Пожалуй, только рассказа про связи не хватает.

Oleg Zubelevich в сообщении #887500 писал(а):

Это как было так и осталось, кстати вопросы из стартового поста являются следствием именно такого построения курса.

Нет, всего лишь пары недомолвок.

Oleg Zubelevich в сообщении #887500 писал(а):

tech должен понимать, что данная книга весьма своеобразна среди прочих курсов механики.

Она была своеобразна на момент написания. С тех пор, она давно стала для теорфизиков стандартом de facto (не только отечественных, но и зарубежных). Оказалось, Ландау "ухватил" именно то, что надо дать теорфизику - не больше, и не меньше, и в нужной логической последовательности и перспективе.

Есть много "традиционных" курсов, в том числе и весьма хороших. Но для человека, стремящегося в теоретическую физику, Ландау - лучше.

Есть уже много и курсов, сходных с Ландау в логике и перспективе. Назову одного только Арнольда - вам должно быть достаточно.

[tech]

И ещё хочу задать такой вопрос.
Допустим, есть однородное поле, направленное вдоль оси $z$, есть некоторая система частиц. Какие механические свойства (с точки зрения нерелятивистской механики) этой системы меняются при параллельном переносе её вдоль оси $z$?

[Munin]

Потенциальная энергия меняется. Впрочем, если одновременно менять и суммарную энергию системы, то ничего не меняется.

Зато, в этой системе не будет сохранения импульса частиц в проекции на ось $z.$ В проекциях на $x$ и $y$ - будет.