Вот здесь (и чуть выше) должно быть разве не

?
А, ну да. Потом я обозначил число частиц за

а

- число их декартовых координат. Вы правы. Внимательно читаете.
Но когда мы записываем функцию Лагранжа, мы же зачастую рассматриваем движение в проекциях, к примеру, на оси декартовой системы координат, а не на поверхность, по которой движется материальная точка. А там уже проекция этих сил может не зануляться.
Да. Но эту проекцию можно не учитывать, потому что то условие, что точка движется по заданной поверхности - выполняется автоматически. (Например, кроме дифференциальных уравнений движения

для некоторых

из

в систему уравнений движения входят ещё и алгебраические уравнения связей

- точнее, в более общем случае

В результате, будет всего

уравнений.)
Доказательство, что и в том, и в другом случае можно использовать одну и ту же функцию Лагранжа, на самом деле, не тривиально. Оно рассмотрено в других учебниках теоретической механики. (Например, Маркеев, или Арнольд, может быть, Савельев, ну и конечно, указанный
Oleg-ом
Zubelevich-ем
Болотин-Карапетян-Кугушев-Трещев, хотя я никогда не читал его.) Общая идея такая. Чтобы частица оставалась на указанной поверхности, ей можно добавить потенциальную энергию, которая 0 на этой поверхности, и быстро возрастает, как только частица сойдёт с поверхности. Как будто, мы присоединяем к жёсткому стержню частицу не непосредственно, а на очень тугой пружине. Такая добавка прибавляется к функции Лагранжа как добавочный член потенциальной энергии, например, вида

где потом жёсткость

можно делать сколь угодно большой, и взять предел

Но видно, что при всём при этом, на самой поверхности добавка в точности равна нулю, и в проекции на касательную плоскость ни на что не влияет. А уравнения Лагранжа - это, по сути, уравнения Ньютона для движения по касательной плоскости. Поэтому, эта добавка не входит в уравнения Лагранжа, и если учитывать то, что частица удовлетворяет уравнению связи, то во всём остальном математическом аппарате можно про неё вообще забыть.
И по поводу потенциальной энергии. Получается, Лагранжева механика работает только с силами вида

(то есть с потенциальными силами)?
По крайней мере, базовый вариант лагранжевой механики, изложенный в ЛЛ-1, - да. И этого достаточно для 99 % всех применений лагранжевой механики в теоретической физике.
Есть всякие дополненные и расширенные варианты лагранжевой механики. Например, бывает, что нужно учесть трение, то есть, сила при этом зависит от скоростей, например, типичная сила вязкого трения выглядит как

В этом варианте, энергия не сохраняется (теряется), и сразу "портятся" хорошие результаты теоретической механики, например, относящиеся к энергии и к другим законам сохранения.
Есть ещё довольно важный класс сил, которые, на самом деле, укладываются в базовый вариант лагранжевой механики, но не являются потенциальными. Это "силы, перпендикулярные скорости", такие как сила Кориолиса
![$2m[\vec{v}\,\vec{\Omega}]$ $2m[\vec{v}\,\vec{\Omega}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/e/8ee6395e870a5e34b15772b29a3b2d5782.png)
во вращающейся системе координат, и сила Лоренца
![$(q/c)[\vec{v}\vec{B}]$ $(q/c)[\vec{v}\vec{B}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/2/47267806862b10a451e0db1b8f9ba0b682.png)
в магнитном поле. Чтобы их учесть, к функции Лагранжа добавляют слагаемое, зависящее от скорости, причём линейное по скорости, а не квадратичное, как кинетическая энергия. Это добавка
![$m\vec{v}\,[\vec{\Omega}\,\vec{r}\,]$ $m\vec{v}\,[\vec{\Omega}\,\vec{r}\,]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935237d6fdfc4bafa3925a0116b5973782.png)
или

Она называется обобщённым потенциалом (просто
потенциальная энергия часто в теоретической механике называется просто
потенциалом), а такие силы, которые могут быть представлены в виде
![$-\operatorname{grad}U-[\vec{v},\operatorname{rot}\vec{A}\,],$ $-\operatorname{grad}U-[\vec{v},\operatorname{rot}\vec{A}\,],$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/b/26bc6e396db9c05823fe3c484e61a31782.png)
- обобщённо-потенциальными.
По сути, теоретическая физика больше имеет дело с физическими системами, укладывающимися в рамки лагранжевой механики, чем с системами, укладывающимися в рамки ньютоновой механики. Именно лагранжева механика оказалась достаточно универсальной, чтобы представить (формально-математически) в виде механических систем такие физические системы, которые механическими не являются: оптику, электромагнитное поле, разные другие поля, взаимодействия и явления. Для таких систем, слово "механика" употребляется в переносном смысле, как
способ теоретического описания, математически схожий до совпадения с теоретической механикой. Также в этом смысле употребляется слово
лагранжев формализм. И более того, это не просто совпадение, но и связь разных явлений. Если есть физическое явление, включающее в себя разные области физики, например, механическое движение и электрическое поле, то для того, чтобы составить законы этого явления, можно просто сложить функции Лагранжа для механической и электрической теории, точно так же, как это делается для двух механических систем, приведённых во взаимодействие между собой. Таким образом, все физические теории можно "состыковать" через действие и функцию Лагранжа, если только они уже выражены на этом языке. Такие "состыкованные" теории будут правильно описывать влияние явлений друг на друга, и в том числе, передачу и превращение энергии. (Как вы знаете, энергия - универсальная величина, которая характеризует явления самых разных областей физики.)
Таким образом, главное применение теоретической механики в современной теоретической физике вообще мало связано с механикой - как областью физических явлений, где катаются шары, качаются маятники, и т. п.