Сходиость абсолютная и условная.

[Firth]

Необходимо определить область сходимости(условной и абсолютной) функционального ряда:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}(\frac{x}{2x+1})^n$$

Ну для абсолютной сходимости проблем нет, применяем формулу Даламбера получаем:

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2}(\frac{x}{2x+1})^{n+1})(\frac{n}{n+1}(\frac{x}{2x+1})^{-n})=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+2}(\frac{x}{2x+1})=\frac{x}{2x+1}<1$$

Но это только для абсолютной сходимости, а как быть с условной?

[ewert]

Firth в сообщении #886981 писал(а):

Ну для абсолютной сходимости проблем нет, применяем формулу Даламбера получаем:

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2}(\frac{x}{2x+1})^{n+1})(\frac{n}{n+1}(\frac{x}{2x+1})^{-n})=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+2}(\frac{x}{2x+1})=\frac{x}{2x+1}<1$$

Что называется абсолютной сходимостью?

[SpBTimes]

Модули, модули хде.

[Firth]

Прошу прощения

$$\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n+2}(\frac{|x|}{\abs{|2x+1|}})^{n+1})(\frac{n}{n+1}(\frac{\abs{|x|}}{\abs{|2x+1|}})^{-n})=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+2}(\frac{\abs{|x|}}{\abs{|2x+1|}})=\frac{\abs{|x|}}{|2x+1|}<1$$

Вот так вот, на самом деле. Как же быть с условной сходимостью?
Абсолютная сходимость это когда сходится ряд составленный из модулей каждого слагаемого. Из абсолютной сходимости вытекает условная сходимость.
По теореме "Если ряд сходится абсолютно то он сходится".

Так теперь нужно определить радиус. Радиус абсолютной сходимости - $[0,\infty)$

Как определить радиус условной сходимости?

[ex-math]

У Вас по сути степенной ряд. Что Вы знаете о характере сходимости степенного ряда? Где он сходится абсолютно, где расходится, а где возможна условная сходимость?

[ewert]

Firth в сообщении #887193 писал(а):

Как же быть с условной сходимостью?

Пока что -- лучше никак. Пока что лучше замените ту дробь из иксов на новую переменную, зафиксируйте те два значения этой переменной, при которых сходимость несколько сомнительна -- и для каждого из этих значений, тупо подставляя его в ряд, спокойненько разберитесь, чего там будет. Просто сходимость, или абсолютная, или вообще ничего. Ну а потом не менее спокойно вернитесь от новой переменной к старой.

[Firth]

Окей, ряд степенной, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n+2}z^n$ тода если при $z_0$ Ряд расходится то и при любом $z>z_0$ он разойдется, так теперь нуно просто применить формулу Даламбера для радиуса сходимости:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\frac{n+1}{n+2}=1 $$

дальше берм наше $z$ загоняем его в неравенство $-1<z<1$ расписываем $-1<\frac{x}{2x+1}<1$
Тут у нас получается что сходимость есть всегда при $x>-1$ при $x=-1$, $z=1$ и ряд получается $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}$ он всюду больше гармонического а значит разходится, отсюда я делаю вывод о радиусе сходимсоти ряда - $(-1,\infty)$

[ex-math]

Вы неверно решили неравенства.

[Firth]

Тогда давайте еще раз и подробнее

Есть неравенства:

$$-2x-1<x$$

$$x<2x+1$$

Из них получается:

$$x>-\frac{1}{3}$$

$$x>-1$$

Вот только интересно что будет происходить при $x=-\frac{1}{3}$

тогда ряд будет иметь вид

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1}$$

Для проверки сходимости можно использовать признак Абеля т.е.

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=1$$

Видно что предел не стремится у нулю а значит ряд расходится.

Да и тогда решение - выполнение обоих условий одновременно, и тогда ответ:

$$(-\frac{1}{3},\infty)$$

- радиус сходимости ряда.

$$[0,\infty)$$

- радиус сходимости абсолютного ряда.

Все ли верно?

[1r0pb]

Firth, $\frac{x}{2x+1}<1\not \Leftrightarrow x<2x+1$

[ex-math]

Именно. Вы как бы подразумевали, что $2x+1> 0$, а ведь это не всегда так.
Еще, чтобы зря не тревожить покой Абеля и гармонического ряда, вспомните необходимый признак сходимости.

[Firth]

Да совершенно верно из неравенства

$$-1<\frac{x}{2x+1}<1$$

получим 2 неравенства:

$$-1<\frac{x}{2x+1}$$

и

$$\frac{x}{2x+1}<1$$

Решаем первое:
$3x+1>0$ и одновременно $2x+1>0$
или
$3x+1<0$ и одновременно $2x+1<0$

Получаем из первых двух: $x>-\frac{1}{3}$
Из вторых двух: $x<-\frac{1}{2}$

Решаем второе:

$$-x>-1<0$$

и одновременно

$$2x+1>0$$

или

$$-x-1>0$$

и одновременно

$$2x+1<0$$

Получаем из первых двух: $x>-\frac{1}{2}$
ИЗ вторых двух: $x<-\frac{1}{2}$

Тогда ряд сходится в интервалах $(-\infty,-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

А для абсолютной сходимости можно заметить что

$$\frac{|x|}{|2x+1|}$$

Всегда меньше единицы, и ряд сходится абсолютно на $[0,\infty)$

Так?

[Otta]

Firth в сообщении #887570 писал(а):

Тогда ряд сходится в интервалах $(-\infty,-\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

Не. Проверяйте еще разик. Первый интервал будет не таким.
И какими же сложными путями Вы ходите... :)

-- 15.07.2014, 01:44 --

Firth в сообщении #887570 писал(а):

А для абсолютной сходимости можно заметить что

$$\frac{|x|}{|2x+1|}$$

Всегда меньше единицы, и ряд сходится абсолютно на $[0,\infty)$

Пыталась найти смысл. Не нашла.

[1r0pb]

А почему бы так не сделать: $\frac{|x|}{|2x+1|}<1 \Leftrightarrow |\frac{x}{2x+1}|<1 \Rightarrow (\frac{x}{2x+1})^2<1$?

[Firth]

Otta в сообщении #887572 писал(а):

Не. Проверяйте еще разик. Первый интервал будет не таким.

Я попробую расписать поподробней, неравенство $-1<\frac{x}{2x+1}$ перепишим в более удобном виде:

$$\frac{x}{2x+1}>-1$$

Перенесем единицу влево, приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3x+1}{2x+1}>0$$

Это будет верно только если и числитель и знаменатель одного знака.
То есть либо $3x+1>0$ и $2x+1>0$
либо $3x+1<0$ и $2x+1<0$


Первое неравенство дает $x>-\frac{1}{3}$, а второе дает $x>-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{3}>-\frac{1}{2}$ значит остается только условие $x>-\frac{1}{3}$

Третье неравенство дает $x<-\frac{1}{3}$, а четвертое $x<-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$ значит остается условие $x<-\frac{1}{2}$

Во втором у меня ошибка, там на самом деле будет: $x>-\frac{1}{2}$ или $x<-1$

тогда условно ряд сходится на интервале $(-\infty,-1)$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

Для абсолютой сходимости решим неравенство $\frac{x^2}{(2x+1)^2}<1$ перенесем единицу вправо, приведем к общему знаменателю, получим: $\frac{-3x^2-4x-1}{(2x+1)^2}<0$
Тут знаменатель всегда положителен, значит нужно искать при каких $x$ числитель будет отрицателен. Корни уравнения - $-1$ и $-\frac{1}{3}$ а отрицателен он $(-\infty,-1)$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

Окончательно получилось что область сходимости ряда:$(-\infty,-1)$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

А область абсолютной сходимости ряда: $(-\infty,-1)$ и $(-\frac{1}{3},\infty)$

Вот так вот правильно?