Степень существования математических объектов

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения ввиду бессмысленности употребляемых терминов.

Linkey, дайте чёткое определение используемым терминам (в противном случае, забудьте о существовании этой темы).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Беседы на околонаучные темы»

[Otta]

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Определение: EXD - это характеристика, показывающая, насколько понятие "существует" применимо к математической абстракции.

И как это надо понимать? Что значит "существует" применительно к математической абстракции? На ощупь, что ли? Это же абстракция, и если Вы уже ведете речь о вполне конкретной, значит, она все-таки существует. В том смысле, который Вы в то вкладываете.

И кстати, скажите мне, пожалуйста, какова степень существования предела фундаментальной последовательности комплексных чисел. Интересно посмотреть, как работает Ваше определение.

[atlakatl]

ТС СПРАШИВАЕТ:

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Как ВЫ ДУМАЕТЕ, чему равна EXD для потенциальной бесконечности, актуальной бесконечности, 1/0 и других “несуществующих” чисел?

Т.е. он ищет модель формализации параметра EXD.
А Вы в ответ зачем-то задаёте этот же вопрос:

Otta в сообщении #886087 писал(а):

И кстати, скажите мне, пожалуйста, какова степень существования предела фундаментальной последовательности комплексных чисел

И чем именно "степень существования" "КСТАТИ"?

[Otta]

ТС не сужал область применимости своего определения. Предел - тоже математическая величина.

atlakatl в сообщении #886090 писал(а):

И чем именно "степень существования" "КСТАТИ"?

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Пусть EXD – это степень существования математической величины.

[atlakatl]

Otta в сообщении #886091 писал(а):

Предел - тоже математическая величина

Предел - это метод.
А РЕЗУЛЬТАТОМ "предела фундаментальной последовательности комплексных чисел" является обычное комплексное число, включая бесконечно большое.
Т.е. Вы задаёте ТС вопрос, какие математические понятия должна охватывать формализация EXD. Автор перечислял именно мат. величины, понятным образом "сужая" степень применимости.

[Otta]

atlakatl в сообщении #886093 писал(а):

Предел - это метод.

Пределом последовательности называется число, такое что.... забыли?

atlakatl в сообщении #886093 писал(а):

включая бесконечно большое.

Без комментариев.
Фундаментальной последовательности.

[atlakatl]

Otta в сообщении #886094 писал(а):

Без комментариев.

... И тут же комментарий... Намёк понял, лажанулся, да.

[Deggial]

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Определение: EXD - это характеристика, показывающая, насколько понятие "существует" применимо к математической абстракции. Я не могу пока сформулировать предмет более чётко, но всем интуитивно ясно, что например для мнимых чисел EXD меньше чем для действительных.

Даже если с перепою предположить, что это - определение, то Вам нужно ещё доказать, что это определение корректно, т.е. что оно не противоречит другому высказыванию:

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Примем, что для числа 5 EXD=1, для -5 EXD=0.9, для i EXD=0.6, для кватернионов EXD=0.5, для седенионов EXD=0.4.

Доказывайте, иначе тема благополучно слетит в Карантин обратно.

[Linkey]

Deggial в сообщении #886508 писал(а):

Доказывайте, иначе тема благополучно слетит в Карантин обратно.

Хорошо, попробую.
Чтобы ответить, существуют ли какие-то числа, надо определиться, что такое вообще числа. Дам такое определение (полагаю оно не только моё) – числа это математическая абстракция, позволяющая отражать какие-то свойства предметов из реального мира. Тогда возникает вопрос, что такое математическая абстракция. Чтобы это понять, наверно стоит определиться, что такое нематематическая абстракция. Полагаю, примером нематематической абстракции служат аналогии, про которые я написал в соседней теме. Например, мы можем провести аналогию между динозаврами и крупными монополистами. Найдя с помощью аналогии связь между динозаврами и монополистами, мы можем делать какие-то предсказания насчёт монополистов: им предстоит банкротиться. Соответственно, если на яблоне есть 5 яблок, мы можем найти связь между этими яблоками и числом 5, таким образом делать предсказания: если нам для десерта достаточно двух яблок, а на яблоне их 5, значит яблок на яблоне нам хватит для десерта.

Число как бы “не существует”, если нам трудно найти его связь с объектами реального мира. Например, мы знаем что числа бывают положительные и отрицательные, и ещё 0. Предположим, мы придумали ещё два знака чисел – “гиперположительные” и “гиперотрицательные”. Спрашивается, чему равно EXD для гиперположительных чисел? Надо думать, или 0, или достаточно низкое значение, потому что в реальном мире гиперположительных чисел мы не встречали.

И ещё: тут написали что интуиция плохой помощник, но по-моему это совсем не так: например, чтобы взять сложный интеграл, интуиция нужна. Надеюсь меня тут поддержат математики.

Цитата:

осталось непонятным

Я выше привёл примеры, почему EXD для отрицательных чисел меньше чем для положительных, а дя мнимых меньше чем для действительных. Отсюда можно навскидку оценить значение EXD.

Цитата:

нет такого термина - "числа".

В смысле? $5$, $-5$ - разве не числа?

Цитата:

Это Вы сейчас сказали, что евклидово пространство - это число, что треугольник, дерево - это число и что функция - это число. На этой замечательной ноте тема уезжает в Карантин.

Числа - это один из видов математической абстракции. $2$, $-2$, $i$ - это всё числа. Евклидово пространство, треугольник, - это другии виды математических абстракций. Дерево - это объект реального мира, для описания свойств которого можно использовать числа и другие математические абстракции.
Ещё есть, например, предел, бесконечно малая величина: как я понимаю это не число (другая математическая абстракция), хотя она обладает многими свойствами чисел.

[warlock66613]

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Число как бы “не существует”, если нам трудно найти его связь с объектами реального мира.

Очень субъективно. Для вас может трудно найти вокруг комплексные числа, а я вижу их в каждой розетке на $220\text{ В}$.

[Alexandre Lois]

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Чтобы ответить, существуют ли какие-то числа, надо определиться, что такое вообще числа.

интересно, а как бы отреагировал на подобный пассаж врач психиатр?

[Deggial]

Linkey
Итак, откуда взялось

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

Примем, что для числа 5 EXD=1, для -5 EXD=0.9, для i EXD=0.6, для кватернионов EXD=0.5, для седенионов EXD=0.4.

осталось непонятным.

Далее

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Чтобы ответить, существуют ли какие-то числа, надо определиться, что такое вообще числа.

нет такого термина - "числа".

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Дам такое определение (полагаю оно не только моё) – числа это математическая абстракция, позволяющая отражать какие-то свойства предметов из реального мира.

Это Вы сейчас сказали, что евклидово пространство - это число, что треугольник, дерево - это число и что функция - это число. На этой замечательной ноте тема уезжает в Карантин.

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствие предмета обсуждения

Linkey, дайте нормальное определение используемым понятиям.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Вернул, потому что понял, что держать тему в Карантине бесперспективно.
Похоже, что тема свёдется к тому, чтобы показать Вам, в чём Ваши ошибки в рассуждениях и только. Но не заниматься же этим в теме "Сообщение в Карантине исправлено."

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Я выше привёл примеры, почему EXD для отрицательных чисел меньше чем для положительных, а дя мнимых меньше чем для действительных. Отсюда можно навскидку оценить значение EXD.

То есть в лучшем случае Вы хотели сказать, что $EXD(5)\geq EXD(-5)\geq EXD(0.9)\geq EXD(i)$, а вот эта фраза:

Linkey в сообщении #885160 писал(а):

5 EXD=1, для -5 EXD=0.9, для i EXD=0.6, для кватернионов EXD=0.5, для седенионов EXD=0.4

- это враньё. Либо покажите, как Вы "оцениваете навскидку".

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Цитата:

нет такого термина - "числа".

В смысле? $5$, $-5$ - разве не числа?

Да, строго говоря $5, -5$ - не числа, потому что понятие "число" не определено. В то же время $5$ - натуральное число, $-5$ - целое число. Термины "натуральное число" и "целое число" являются неделимыми, бесструктурными.

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

$2$, $-2$, $i$ - это всё числа.

Неверно, термин "число" не определён.

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Дерево - это объект реального мира

Дерево здесь - это связный граф без циклов.

Linkey в сообщении #886563 писал(а):

Цитата:

Это Вы сейчас сказали, что евклидово пространство - это число, что треугольник, дерево - это число и что функция - это число. На этой замечательной ноте тема уезжает в Карантин.

Числа - это один из видов математической абстракции. $2$, $-2$, $i$ - это всё числа. Евклидово пространство, треугольник, - это другии виды математических абстракций. Дерево - это объект реального мира, для описания свойств которого можно использовать числа и другие математические абстракции.
Ещё есть, например, предел, бесконечно малая величина: как я понимаю это не число (другая математическая абстракция), хотя она обладает многими свойствами чисел.

Разве из этого текста и Вашего псевдоопределения следует, что евклидово пространство, треугольник, функция и дерево - это не число?

Ошибку поняли или нет?

[arseniiv]

Linkey, если вы собираетесь определять, что такое число, вы должны учесть, что все известные вам примеры «чисел» — математические вещи, так что определение придётся давать математическое (а не болтологическое*), иначе оно просто не сможет работать. Математические понятия определяются точно через другие и в конце концов через какие-нибудь аксиомы.

* а именно «один из видов математической абстракции», а потом пара примеров чисел и не-чисел — если вы считаете, что этим вы определили как числа и многое другое, то вы ошибаетесь. Всё надо описывать явно, иначе разные люди не будут иметь уверенность, что, соблюдая правила, они смогут при использовании этого определения получить одинаковые результаты (а если какого-нибудь математика заставить использовать ваше определение, он на вопросы «4 — число? $2\pi$ — число?» будет вынужден отвечать «не знаю»).

Кроме того, математика вообще не манипулирует словами «математическая абстракция», т. к. всё рассматриваемое ею — математические абстракции, и нужды в таких словах нет. Путаницы никогда не возникнет, потому что математический объект нельзя определить через не математические (например, длину экватора).

-- Вс июл 13, 2014 18:41:26 --

(Если Linkey действительно интересно определить число.)

Вот пример математического определения*:

Функция $f$ называется инъекцией, если на любых двух различных аргументах она принимает разные значения.

Эта довольно вольная запись должна восприниматься как

Функция $f$ называется инъекцией, если для любых $x_1, x_2$, если $x_1\ne x_2$, и $x_1\in\operatorname{dom}f$, и $x_2\in\operatorname{dom}f$, то $f(x_1)\ne f(x_2)$

и в идеале должна вызывать понимание, что «$f$ — инъекция» эквивалентно формуле

$$f{\text{ — функция}\,\wedge \forall x_1\left(\forall x_2\left(x_1\ne x_2\wedge x_1\in\operatorname{dom}f\wedge x_2\in\operatorname{dom}f \to f(x_1)\ne f(x_2) \right)\right)$$

или хотя бы убеждать, что такая формула существует (с доказательствами то же — они должны быть переводимы в последовательность определённого вида из формул).

Это просто ознакомительные слова, здесь достаточно необъяснённых вещей и мотивации именно такого положения дел, но цели всё разъяснить я и не ставил.

* при условии, что понятия функция, область определения (здесь связанное с обозначением $\mathrm{dom}$), значение функции (на чём-то)**, принадлежность $\in$, равенство $=$ определены, и [классическая] логика первого порядка, в которую это всё погружено, понятна.

** Важно видеть, что «понятия» из логики, которую рассказывают гуманитарным специальностям не очень удобны здесь для описания. Такому понятию соответствует одноместный предикат, истинный на вещах, которые входят в понятие, и ложный на тех, которые не входят. Но предикаты бывают и многоместные — например, двуместные предикаты $\in$ и $=$. Им не соответствует никакого «понятия» в смысле курса такой логики, разве что такого, в которое входят упорядоченные пары. Но упорядоченные пары, опять же, в таком курсе вряд ли встречаются, хотя это простая и полезная вещь. Конечно, можно зафиксировать один из аргументов и получить понятия вида «элемент $a$», «множество, содержащее $e$» и «что-то, равное $c$». Но это будут не очень интересные понятия. «Значение функции $f$ на $x$» будет уже соответствовать трёхместному предикату. Правда, математики обычно его не вводят, потому что можно обойтись более удобным способом. Но тут совершенный оффтоп, каким и почему можно.