Масса электрона

[Arkhipov]

Как обещал, попробую изложить то, что удалось понять из Ваших постов и Пескина.

Рассмотрим лагранжиан действительного скалярного безмассового поля:
$\mathcal{L}({\mathbf x},t)=\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2({\mathbf x},t)-\frac{1}{2}(\nabla \varphi)^2({\mathbf x},t)$
Найдем канонический импульс:
$\pi({\mathbf x},t)=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \dot{\varphi}}= \dot{\varphi}({\mathbf x},t)$
И построим гамильтониан:
$\mathcal{H}({\mathbf x},t)=\frac{1}{2}\pi^2({\mathbf x},t)+\frac{1}{2}(\nabla \varphi)^2({\mathbf x},t) $
$H(t)=\int d^3x \left\{ \frac{1}{2}\pi^2({\mathbf x},t)+\frac{1}{2}(\nabla \varphi)^2({\mathbf x},t) \right\} $
Перейдем от Гейзенберговского представления к представлению Шредингера (перенесем зависимость от времени с операторов на состояние):
$H=\int d^3x \left\{ \frac{1}{2}\pi^2({\mathbf x})+\frac{1}{2}(\nabla \varphi)^2({\mathbf x}) \right\}$
И собственно проквантуем систему (теперь операторы канонических координат поля и канонических импульсов некоммутируют):
$[\varphi(\mathbf{x}),\varphi(\mathbf{x'})]=[\pi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{x'})]=0$
$[\varphi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{x'})]= i \delta^3 (\mathbf{x-x'}) $
В принципе, на этом месте задача уже поставлена, то есть к примеру для стационарных систем необходимо найти собственные значения и состояния оператора Гамильтона в некотором представлении, для которого во всех точках известен вид операторов $\varphi$ и $\pi$, удовлетворяющих данным коммутационным соотношениям. Однако гамильтониан содержит $\nabla$, что указывает на связь состояний поля в близлежайших точках, поэтому разумно перейти к импульсному пространству, где такой оператор выглядит более диагонально.
$\varphi(\mathbf{x})=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \varphi(\mathbf{p}) e^{i\mathbf{p}\mathbf{x}}$
$\pi(\mathbf{x})=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \pi(\mathbf{p}) e^{i\mathbf{p}\mathbf{x}}$
$H=\int d^3x \int \frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6} \left\{ \frac{1}{2}\pi({\mathbf p})\pi({\mathbf p'})-\frac{1}{2}({\mathbf p}{\mathbf p'})\varphi({\mathbf p})\varphi({\mathbf p'}) \right\} e^{i({\mathbf p}+{\mathbf p'})x}=$
$=\int \frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6} \left\{ \frac{1}{2}\pi({\mathbf p})\pi({\mathbf p'})-\frac{1}{2}({\mathbf p}{\mathbf p'})\varphi(\mathbf{p})\varphi(\mathbf{p'}) \right\} \delta{(\mathbf{p}+\mathbf{p'})}= $
$=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left\{ \frac{1}{2}\pi(\mathbf{p})\pi(\mathbf{-p})+\frac{1}{2}\mathbf{p}^2\varphi(\mathbf {p})\varphi(\mathbf{-p}) \right\}$
На этом этапе появляется философский вопрос - что значит, что некоторый оператор вещественен? Значит ли это, что каждый элемент его матричного представления вещественен? Как связаны $\varphi(\mathbf {p})$ и $\varphi(\mathbf{-p})$?
Спасибо.

-- 09.07.2014, 16:48 --

Я догадываюсь, что вещественность здесь обозначает эрмитовость, то есть вещественность спектра, но все равно не знаю как показать, что $\varphi(\mathbf{-p})=\varphi^+(\mathbf{p})$

[Munin]

Буквы $d,\delta,\partial$ все разные, и обычно в формализмах применяются в разных ситуациях. Пишутся они как d, \delta, \partial. Формула для канонического импульса по Пескину-Шрёдеру всё-таки $\pi(\mathbf{x},t)=\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\varphi}},$ а вот формула с $\delta$ тоже может быть записана, но означает совсем другое (вариационную производную). Так что неосторожность может привести к непониманию.

Я не понял, каким образом вы "переходите от Гейзенберговского представления к представлению Шрёдингера" ещё до квантования. У вас в этот момент нет вообще никаких операторов, а есть только классические функции поля. И кроме того, вся КТП записывается в представлении Гейзенберга (и/или в представлении взаимодействия, aka представление Дирака).

Arkhipov в сообщении #885703 писал(а):

На этом этапе появляется философский вопрос - что значит, что некоторый оператор вещественен? Значит ли это, что каждый элемент его матричного представления вещественен?

Да, можно так сказать.

Arkhipov в сообщении #885703 писал(а):

Как связаны $\varphi(\mathbf {p})$ и $\varphi(\mathbf{-p})$?

Вообще говоря, никак. Это две разные независимые динамические переменные. Одна отвечает волне, бегущей слева направо, другая - волне, бегущей справа налево. Ведь могут же быть волны и такие, и сякие, и их любые линейные комбинации, не так ли?

[Arkhipov]

Безусловно согласен в первой части. Неправильно поставил производные, и странно заменил квантовые описания классического поля А во второй, если честно, до сих пор не понимаю, что такое вещественное скалярное поле. С одной стороны, это должно означать, что наблюдаемое значение поля - действительно, с другой - что вещественен каждый элемент оператора. И, самое главное, гамильтониан в таком виде перемешивает волны вправо и влево, а было бы замечательно если бы оператор по крайней мере в пространственном смысле диагонализовался. Дело в том, что именно эти две альтернативы сейчас меня занимают, а в книжке нет даже минимального указания на то, которая из них соответствует вещественному полю.

[Munin]

Arkhipov в сообщении #885784 писал(а):

А во второй, если честно, до сих пор не понимаю, что такое вещественное скалярное поле. С одной стороны, это должно означать, что наблюдаемое значение поля - действительно, с другой - что вещественен каждый элемент оператора.

Стоп-стоп-стоп. Никакого оператора. Речь идёт о классическом поле.

Что такое вещественное скалярное поле? Ну, это такая игрушечная модель, toy theory. На самом деле, в природе есть поля, которые нам известны, их можно пересчитать, загибая пальцы: фермионов, электромагнитное, сильное, слабое, гравитационное. Хиггса вот недавно открыли. Но все эти поля обвешаны всякими рюшечками и дополнительными сложностями. Чтобы к ним приступать, хорошо бы разобраться на более простеньком случае. Опять же, чтобы сразу схватиться с электромагнитным полем, надо описать сразу всё, глаза разбегаются. А в более простом случае, можно последовательно сначала рассмотреть одну деталь, потом добавить к ней другую, потом третью, и так далее, - и постепенно дойти до реальной ситуации.

Какие у нас есть реально классические поля? Электромагнитное, гравитационное. Также можно как классические поля рассматривать волновые функции разных частиц, начиная с электрона. Тут мы замечаем, что все эти поля имеют разные тензорные ранги. У электромагнитного поля ранг 1 (векторное), у гравитационного ранг 2 (тензорное), частицы - спиноры разных спинов, 1/2 у электрона, но бывают частицы и спина 1, и спина 0, и других (например, ядра, или короткоживущие адроны). Для этих случаев у нас есть уравнения поля - уравнения Максвелла, уравнение Эйнштейна, уравнение Шрёдингера (Паули со спином). Все они устроены сходным образом, и мы видим, что чем меньше тензорный ранг (или спин), тем уравнения проще.

Вот и вводится вымышленное классическое поле тензорного ранга 0 - скалярное. Его уравнение поля - уравнение Клейна-Гордона, это аналог волнового уравнения для электромагнитного поля, и релятивистский аналог уравнения Шрёдингера для частицы спина 0. Если мы рассмотрим подробно это игрушечное поле, то потом сможем аналогично рассуждать уже для других, реальных полей.

Уравнения Максвелла и волновое уравнение для электромагнитного поля ($\partial_\mu\equiv\partial/\partial x^\mu$ - 4-градиент):

$$F_{\mu\nu}\equiv\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\quad\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu\quad\Rightarrow(\partial_\mu A^\mu=0)\quad\partial_\mu\partial^\mu A^\nu=j^\nu.$$

Уравнение Эйнштейна в линеаризованном случае (и при некоторой фиксированной калибровке, здесь $\eta_{\mu\nu}$ - метрический тензор Минковского):

$$\partial_\lambda\partial^\lambda h_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}T^\lambda{}_\lambda$$

Уравнение Шрёдингера для спина 0, и его операторная структура:

$$i\hbar\partial_t\Psi=\tfrac{1}{2m}(-i\hbar\partial_i)(-i\hbar\partial^i)\Psi+U\Psi\quad(\hat{E}=\tfrac{1}{2m}\hat{\mathbf{p}}^2+U)\Psi$$

Заменяя это на релятивистское соотношение между энергией и импульсом, получаем уравнение Клейна-Гордона ($c=\hbar=1$):

$$(\hat{E}^2=\hat{\mathbf{p}}^2+m^2)\phi\quad(\hat{p}^2-m^2)\phi=0\quad((i\partial_\mu)(i\partial^\mu)-m^2)\phi=0\quad(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0$$

Видно, что все эти уравнения имеют сходную структуру:

$$\Bigl((\text{оператор Д'Аламбера})+\quad[\text{масса}]^2\Bigr)\quad(\text{функция})=\quad[\text{источники}],$$

где члены $[\ldots]$ могут отсутствовать, а оператор Д'Аламбера может быть заменён каким-то другим, более сложным дифоператором второго порядка - в случае ОТО даже нелинейным. Вот это я и называл всякими рюшечками и усложнениями. А для модельного случая можно рассмотреть самую центральную суть:

$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=0\quad\text{}\quad(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$

Итак, в книжках по теории поля, особенно по квантовой теории поля, рассматриваются такие модельные случаи:
1. Вещественное скалярное поле, обычно обозначается $\phi,\varphi.$ Безмассовое и массивное.

(Оффтоп)

$\varphi$ испольуется в традиционных отечественных учебниках, $\phi$ - в англоязычных, по разным типографским традициям. Но в последние годы (где-то с 90-х) написание $\phi$ постепенно проникло сначала в переводные учебники, а потом и в практику отечественных физиков. Сложилось разделение, что $\varphi$ применяется во всякой "обычной" физике, а $\phi$ - в КТП и современных продвинутых разделах на её основе. Впрочем, это дело вкуса.

2. Посложней: комплексное скалярное поле, по сути двухкомпонентное вещественное скалярное поле, что видно, если расписать по действительной и мнимой части всякие произведения $\phi^*\phi,$ которые встречаются в лагранжиане и в других местах.
3. Можно рассмотреть систему полей, но обычно это уже неинтересно.
4. Вещественное скалярное поле с самодействием - то есть, в лагранжиане добавляются члены, неквадратичные по полю. Наиболее популярный пример - поле с самодействием $\phi^4.$ Здесь уже можно рассмотреть вопросы взаимодействующих полей КТП, и возмущений с перенормировками.
5. Другой вариант - это "упрощённая электродинамика": два поля с взаимодействием типа "ток на потенциал".

После 1-2 модельных случаев уже идут более реалистичные (или сразу), например:
6. Спинорное поле спина 1/2 - поле Дирака, описывающее, например, релятивистские электроны. Обозначается по традиции $\psi.$
7. Векторное поле - либо абстрактное векторное, либо электромагнитное (калибровочное), либо бозонное массивное (добавляется массовый член). Обозначается $A,B,$ иногда иначе.
8. Полноценная электродинамика: фермионное поле, плюс фотонное, плюс связь "ток на потенциал".
9. Системы полей с разными взаимодействиями.

Для более сложных случаев опять идут некоторые модельные подготовительные примеры:
10. Частным случаем системы полей со специальным взаимодействием является многокомпонентное поле со внутренними степенями свободы и внутренней симметрией. Здесь рассматриваются $\sigma$-модели, разноцветные кварки.
11. С добавлением векторного калибровочного поля получается модель Янга-Миллса. Глюоны и КХД. Как модельный, рассматривается случай с числом ароматов, стремящимся к бесконечности.
12. Симметрии в случаях 10 и 11 по-разному нарушаются. Здесь возникают электрослабая модель, модели Великого Объединения в разных вариантах.
13. Суперсимметрия сначала тоже рассматривается в простейших модельных случаях, а потом уже - строятся реалистичные модели.

И всё это - ещё до квантования, на уровне классических полей. Квантование таких моделей делают следующим шагом, основательно исследовав поведение модели на классическом уровне. Квантование может быть довольно сложным, и добавить много новых свойств.

Когда изображают такую игрушечную модель, то обычно не ставят вопроса, как именно наблюдаются, и являются ли вообще физически наблюдаемыми, значения этого поля. Считают, что в конечном счёте, это поле войдёт в систему взаимодействующих полей, и там его можно будет наблюдать через взаимодействие с какими-то пробными частицами, подвластными экспериментатору. Или иногда решают по аналогии с электродинамикой: сами потенциалы ненаблюдаемы, а их калибровочно-независимые производные - напряжённости - наблюдаемы. Или по аналогии с квантовой механикой: функции наблюдаемы, но с точностью до произвольной фазы.

Вещественность на этом уровне понимается не как "прибор, измеряющий напряжённость поля, должен вдруг показать комплексное число", а проще: математически поле описывается вещественным или комплексным числом. Если говорят, что поле комплексное, то это просто означает, что оно эквивалентно двум действительным полям $\operatorname{Re}\phi$ и $\operatorname{Im}\phi,$ а комплексное сопряжение $\phi^*$ действует в чём-то аналогично эрмитову или дираковскому сопряжению $A^+,\bar{\psi}.$ То есть, везде, где нужен вещественный скаляр, берётся произведение $\phi^*\phi'=(\operatorname{Re}\phi)(\operatorname{Re}\phi')+(\operatorname{Im}\phi)(\operatorname{Im}\phi').$ В частности, все вероятности таким образом получаются вещественными (как и в квантовой механике для комплексной $\Psi$), и лагранжиан с гамильтонианом тоже.

Arkhipov в сообщении #885784 писал(а):

И, самое главное, гамильтониан в таком виде перемешивает волны вправо и влево, а было бы замечательно если бы оператор по крайней мере в пространственном смысле диагонализовался.

А, это совсем просто делается. Берёте две линейные комбинации волн вправо и влево, это будут стоячие волны, отличающиеся друг от друга сдвигом на четверть волны (одна синусная, другая косинусная), и гамильтониан в терминах этих линейных комбинаций расцепится:
$\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi(\mathbf{p})+\phi(-\mathbf{p}))=\phi_1(\mathbf{p}_+)$
$\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi(\mathbf{p})-\phi(-\mathbf{p}))=i\phi_2(\mathbf{p}_+)$
$\phi(\mathbf{p})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(\mathbf{p}_+)+i\phi_2(\mathbf{p}_+))$
$\phi(-\mathbf{p})=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(\mathbf{p}_+)-i\phi_2(\mathbf{p}_+))$
где $\mathbf{p}_+=\pm\mathbf{p}$ принимает значения всегда в одном полупространстве, и в итоге
$\phi(\mathbf {p})\phi(\mathbf{-p})=\tfrac{1}{2}(\phi_1^2(\mathbf{p}_+)+\phi_2^2(\mathbf{p}_+)),$
чего вам и хотелось. (Здесь мнимая единица помогает положительности энергии, как вы видите.)

Arkhipov в сообщении #885784 писал(а):

Дело в том, что именно эти две альтернативы сейчас меня занимают, а в книжке нет даже минимального указания на то, которая из них соответствует вещественному полю.

Рекомендую поглядеть для сравнения в начало книжки Рубакова "Классические калибровочные поля", главы 1, 2. Впрочем, там нет взаимодействия типа $\phi^4.$

[Arkhipov]

Munin в сообщении #885855 писал(а):

А, это совсем просто делается.

Да, я собственно именно это и хотел сделать, но возникли непредвиденные трудности. Условно говоря, при этом появляется два разных комплексных поля.

Рассмотрим классическое поле с аналогичным гамильтонианом.
Поскольку $\phi(p)=\phi^*(-p)$, $\pi(p)=\pi^*(-p)$, то на самом деле есть только 4 независимые величины:
$\phi_r(p)$, $\phi_{im}(p)$, $\pi_r(p)$, $\pi_{im}(p)$.

Это обстоятельство позволяет перейти к другим 4 независимым амплитудам:
$a_r(p)$, $a_{im}(p)$, $a_r(-p)$, $a_{im}(-p)$, например следующим образом:
$\phi(p)=a(p)+a^*(-p)$
$\pi(p)=i(a(p)-a^*(-p))$

$$\phi(p)\phi^*(p)+\pi(p)\pi^*(p)=(a(p)+a^*(-p))(a^*(p)+a(-p))+(a(p)-a^*(-p))(a^*(p)-a(-p))=$$

$$=a(p)a^*(p)+a^*(-p)a^*(p)+a(p)a(-p)+a^*(-p)a(-p)+a(p)a^*(p)-a^*(-p)a^*(p)-a(p)a(-p)+a^*(-p)a(-p)=$$

$$=a(p)a^*(p)+a^*(-p)a(-p)+a(p)a^*(p)+a^*(-p)a(-p)$$

Тогда сумма:

$$\phi(p)\phi^*(p)+\pi(p)\pi^*(p)+\phi(-p)\phi^*(-p)+\pi(-p)\pi^*(-p)=$$ $$=2a(p)a^*(p)+2a^*(p)a(p)+2a(-p)a^*(-p)+2a^*(-p)a(-p)$$

И гамильтониан приведен к классическому виду. А если нет условий вещественности координаты и импульса, то появятся амплитуды $b(p)$, что конечно не плохо, но не согласуется с результатом данным для окончательного вида гамильтониана в Пескине.

[Munin]

Пожалуй, да, это я как-то пропустил выше. У Рубакова это поясняется. Считаем $\phi$ и $\phi^*$ формально независимыми величинами, в частности, при варьировании действия (то есть, это независимые динамические переменные). Это то же самое, что считать независимыми две действительные величины $\operatorname{Re}\phi=\tfrac{1}{2}(\phi+\phi^*)$ и $\operatorname{Im}\phi=-\tfrac{i}{2}(\phi-\phi^*).$

Можно делать все вычисления с действием или гамильтонианом, как с аналитическими функциями от комплексных переменных $\operatorname{Re}\phi,\operatorname{Im}\phi,$ а потом ограничить результат на действительную ось для этих переменных. Это будет в точности означать наложение условия $(\phi)^*=\phi^*.$

Именно это позволяет, в свою очередь, рассматривать $\phi(\mathbf{p})$ и $\phi(-\mathbf{p})$ как независимые степени свободы.

[Arkhipov]

Кажется, победил

Будем считать, что оператор $\phi(\mathbf{x})$ - эрмитов, то есть $\phi(\mathbf{x})=\phi^+(\mathbf{x})$, тогда для любого $\mathbf{p}$:
$\phi(\mathbf{x})=(\phi(\mathbf{p})+\phi(\mathbf{-p}))\cos(\mathbf{p}\mathbf{x})+i(\phi(\mathbf{p})-\phi(\mathbf{-p}))\sin(\mathbf{p}\mathbf{x})=$
$=(\phi^+(\mathbf{p})+\phi^+(\mathbf{-p}))\cos(\mathbf{p}\mathbf{x})-i(\phi^+(\mathbf{p})-\phi^+(\mathbf{-p}))\sin(\mathbf{p}\mathbf{x})$
Откуда:

$$\begin{cases} \phi(\mathbf{p})+\phi(\mathbf{-p})=\phi^+(\mathbf{p})+\phi^+(\mathbf{-p}) \\ \phi(\mathbf{p})-\phi(\mathbf{-p})=-\phi^+(\mathbf{p})+\phi^+(\mathbf{-p}) \end{cases}$$

$$\phi(\mathbf{p})=\phi^+(\mathbf{-p})$$

Когда только доберусь до перенормировки?

[Munin]

Arkhipov в сообщении #886467 писал(а):

Будем считать, что оператор $\phi(\mathbf{x})$ - эрмитов

Стоп!

Ну что опять такое?

$\phi(\mathbf{x})$ пока - никакой не оператор! Просто-напросто функция, заданная в каждой точке пространства-времени.

Вы можете себе представить просто функцию, и задачу распространения волн, типичную задачу из курса "Уравнения математической физики"?

Чтобы назвать её оператором, точнее, чтобы сделать её оператором, надо ещё покряхтеть, и на уровне понимания, и на уровне формул. И кстати, тогда она станет менее разнообразной :-) хотя и более сложной штукой.

Arkhipov в сообщении #886467 писал(а):

Когда только доберусь до перенормировки? :-)

Не раньше, чем:
1. Разберётесь с квантованием, и для начала научитесь различать классические поля и операторы.
2. Прочитаете весь раздел о свободных полях (в П.-Ш. главы 2-3), и перейдёте ко взаимодействующим полям.
3. Разберётесь со взаимодействием в целом, и обратите внимание на поправки высших порядков (радиационные, петлевые).

[Arkhipov]

Все так сложно. По-видимому, мне нужно многому научиться. За сим, покидаю форум до лучших дней.

[Munin]

Ну чего сложного в простом классическом поле? В простой функции от точки в пространстве и времени?

В электромагнетизме же вы знаете эту функцию. (Она состоит из шести величин для электрического и магнитного векторов, или из четырёх величин для потенциалов.) И знаете, как её находить - решением уравнений Максвелла. Ну а тут предлагается ещё более простой случай: одна величина, скалярная функция.

А "многое, чем нужно научиться" - это не столь уж многое. У Пескина-Шрёдера всё это умещается в 1 главе.

[doom]

Господа! А Как электрон движется, какова его траектория? Возможно что не по окружности а змееобразно, как пьяный водитель? От этого может зависть его масса.

[Munin]

Траектория электрона - это линия в бесконечномерном пространстве, а для нас она выглядит как волна.

-- 22.09.2014 17:23:47 --

Безо всяких змеевиков и прочего самогоноварения.

[doom]

Munin, вы правы, просто хотел уточнить-электрон движется подобно спутнику на орбите земли. И траектория его вращения-волнообразная?

[Munin]

Нет.

[Утундрий]

doom в сообщении #910641 писал(а):

траектория его вращения-волнообразная?

У этой сволочи вообще нет траектории...