Движение частицы

[r.t.w.z]

Добрый день! Есть вопросы по задаче:

Частица, единичной массы движется в одном измерении, $x\in \mathbb{R}$, движение описывается уравнениями:

$\dfrac{dx}{dt}=p,\;\; \dfrac{dp}{dt} = - \partial_x U(x)$,

где $x(t)$ - координата, $p(t)$ - импульс частицы, $U(x)$ является потенциалом (функция).

а) Показать, что энергия $E = U (x) + p$ сохраняется (не зависит от $t$).
б) При потенциале

$U(x)=\begin{cases} +\infty ,& x < 0, \\ x^2 ,& x \geqslant 0.\\ \end{cases}$

и предполагая, что при $t=0$, $x(0)=1$, $\;\dfrac{dx(0)}{dt}=0$, покажите, что движение частицы является периодическим и найдите период.
==============================================================================
а) Можно подставить $p$ из первого уравнения во второе, получим: $\dfrac{d^2x}{dt^2} = - \partial_x U(x)$.

А что означает обозначение $\partial_x $. Это градиент, но так как движение одномерно, то это просто частная производная по $x$?

Чтобы энергия сохранялась, нужно, чтобы $\dfrac{dE}{dt}=0$

$\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{dU}{dt} + \dfrac{dp}{dt}=\partial_x U(x)-\partial_x U(x)=0$. Ч.т.д. Верно ли это?

б) Тут просто не ясно с чего начать, потому нашел потенциал. Что еще нужно сделать?

$\partial_x U(x)=\begin{cases} 0 ,& x < 0, \\ 2x ,& x \geqslant 0.\\ \end{cases}$

[ewert]

r.t.w.z в сообщении #886154 писал(а):

Показать, что энергия $E = U (x) + p$ сохраняется

Это не энергия.

[Munin]

В (б) у вас $\partial_x U(x)$ имеет в нуле дельта-образный скачок (точнее, $\infty$ умножить на дельта-функцию). Именно этот скачок приводит к отскоку частицы от бесконечной потенциальной стенки. Получить правильную картину можно, заменив $U(x)$ на $-\varepsilon^{-1}x$ при $x<0,$ и потом после решения (в котором можно считать $\varepsilon$ просто малым) взять предел $\varepsilon\to 0.$

-- 10.07.2014 15:02:45 --

r.t.w.z в сообщении #886154 писал(а):

А что означает обозначение $\partial_x $.

Это просто синоним $\dfrac{\partial}{\partial x},$ менее громоздкий.

-- 10.07.2014 15:03:51 --

Полную производную от $U$ вы посчитали неправильно.

[r.t.w.z]

ewert в сообщении #886158 писал(а):

r.t.w.z в сообщении #886154 писал(а):

Показать, что энергия $E = U (x) + p$ сохраняется

Это не энергия.

Вы про то, что размерности не сходятся? То есть не имеет это все физического смысла?

-- 10.07.2014, 14:05 --

Munin в сообщении #886161 писал(а):

Полную производную от $U$ вы посчитали неправильно.

А пункт a) -- верно сделал?

Сейчас еще раз подумаю над тем, что вы написали.

-- 10.07.2014, 14:12 --

Munin в сообщении #886161 писал(а):

В (б) у вас $\partial_x U(x)$ имеет в нуле дельта-образный скачок (точнее, $\infty$ умножить на дельта-функцию). Именно этот скачок приводит к отскоку частицы от бесконечной потенциальной стенки. Получить правильную картину можно, заменив $U(x)$ на $-\varepsilon^{-1}x$ при $x<0,$ и потом после решения (в котором можно считать $\varepsilon$ просто малым) взять предел $\varepsilon\to 0.$

Спасибо. А к нулю стремление слева или справа? (думаю, что справа, чтобы вышла $+\infty$)

Тогда выйдет

$\partial_x U(x)=\begin{cases} +\infty ,& x < 0, \\ 2x ,& x \geqslant 0.\\ \end{cases}$

Верно ли это? А что нужно еще сделать?

-- 10.07.2014, 14:21 --

Я так понимаю -- что ноль будет точкой экстремума. Потому как там скорость равна нулю.

[r.t.w.z]

Может и в пункте б) пользоваться пунктом а) ? Откуда здесь может взяться периодичность?
Вижу, что $x=\cos t$ удовлетворяет этим условиям:

Цитата:

при $t=0$, $x(0)=1$, $\;\dfrac{dx(0)}{dt}=0$

Но это же не факт, что так, но и я взял это "с потолка")

[Munin]

r.t.w.z в сообщении #886165 писал(а):

Вы про то, что размерности не сходятся?

Нет, скорее про то, что энергия в данном случае $U(x)+p^2/2.$

r.t.w.z в сообщении #886165 писал(а):

Спасибо. А к нулю стремление слева или справа? (думаю, что справа, чтобы вышла $+\infty$)

Да, пардон, я не указал, к $+0.$ (Где там право, а где там лево, я постоянно путаюсь.)

r.t.w.z в сообщении #886165 писал(а):

Тогда выйдет
$\partial_x U(x)=\begin{cases} +\infty ,& x < 0, \\ 2x ,& x \geqslant 0.\\ \end{cases}$
Верно ли это? А что нужно еще сделать?

Нет, неверно. Надо сначала подставить $U$ с $\varepsilon$-ом в уравнения Гамильтона, решить их, а потом уже брать предел.

r.t.w.z в сообщении #886165 писал(а):

Я так понимаю -- что ноль будет точкой экстремума.

Ноль будет точкой экстремума чего?

Скажите, вы физически понимаете, что значит $U(x<0)=+\infty,$ и о чём вообще вся задача? Или нет?

r.t.w.z в сообщении #886199 писал(а):

Откуда здесь может взяться периодичность?

Ну, из физики...

[Oleg Zubelevich]

r.t.w.z в сообщении #886154 писал(а):

ри потенциале

$U(x)=\begin{cases}
+\infty ,& x < 0, \\
x^2 ,& x \geqslant 0.\\
\end{cases}$

на самом деле это не более чем символическая запись, которая по определению означает, что приходя в ноль точка ударяется абсолютно упруго о стенку.

[Munin]

По сути, да. Но в уравнения Гамильтона это так просто не запихнёшь :-)