Релятивистские уравнения движения многих тел

[evgeniy]

Уравнения движения Ньютона позволяют составить уравнение, описывающие движение N тел и их центра тяжести под воздействием внешней силы. Возникает вопрос, каковы уравнения движения многих релятивистских тел. Если такие уравнения нельзя составить, то это большой минус релятивистской теории. Каковы эти уравнения движения, у ЛЛ нет.
Есть приближения к этим уравнениям, вычисляя функцию Лагранжа для множества частиц в определенном приближении. Есть релятивистское уравнение Навье – Стокса для непрерывной среды, но это не уравнение движения многих тел. Возникает вопрос каковы эти релятивистские уравнения? Может быть это релятивистское уравнение Гамильтона-Якоби, с учетом тензора ОТО, которые имеют вид
$g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}=m^2 c^2$
но нет, уравнения Гамильтона описывают одну частицу. Может быть это уравнения Лагранжа. Но они, как и уравнения движения Ньютона описывают множество не релятивистских тел, а для множества релятивистские тел эти уравнения приближенные.
Каков же выход из этой ситуации. Может быть, я не знаю литературу, тогда подскажите, каковы точные уравнения движения многих тел в инерциальных системах координат.

[Munin]

evgeniy в сообщении #884886 писал(а):

Возникает вопрос каковы эти релятивистские уравнения?

evgeniy в сообщении #884886 писал(а):

Каковы эти уравнения движения, у ЛЛ нет.

У ЛЛ всё есть. Читать надо не пятой точкой.

[evgeniy]

Конкретно укажите где у ЛЛ есть точные релятивистские уравнения движения N тел для произвольной силы и не приближенные. Например в случае гравитационного тяготения.

[Munin]

Конкретно в § 95.

[evgeniy]

Munin в сообщении #884909 писал(а):

Конкретно в § 95.

Этот параграф посвящен выводу уравнения ОТО. Уравнение ОТО описывает одно дискретное тело, и для двух и более тел не годится. Возможно описание пылевидной материи, откуда получено уравнение расширения Вселенной. Но непрерывную среду описывает релятивистское уравнение Навье - Стокса. Но для N тел, уравнение ОТО не приспособлено. Я же говорю об уравнении движения N тел, под действием силы взаимодействия между ними, например гравитационного. Таких уравнений у ЛЛ нет. Есть маленькая зацепка у ЛЛ, движение под действием электромагнитного поля.
$mc\frac{du_l}{ds}=\frac{e}{c}F_{lk}u^k$
Получаем релятивистское уравнение движения. Но это не взаимодействие тел, а движение тела во внешнем поле.

[Red_Herring]

evgeniy в сообщении #884916 писал(а):

Но это не взаимодействие тел, а движение тела во внешнем поле.

Если Вы хотите ОТО, то тела взаимодействуют не сами по себе а через поля. Т.е. пишите уравнения каждого тела плюс уравнения ОТО. Впрочем, я не физик.

[evgeniy]

Red_Herring в сообщении #884917 писал(а):

Если Вы хотите ОТО, то тела взаимодействуют не сами по себе а через поля. Т.е. пишите уравнения каждого тела плюс уравнения ОТО. Впрочем, я не физик.

ОТО не определяет поле от нескольких объектов, и значит взаимодействие N тел не описывает. Если имеется поле одного объекта, то путем уравнений
$\frac{du^l}{ds}+\Gamma_{ik}^l u^i u^k=0$
Можно описать движение частицы в поле. Но взаимодействие N частиц через созданные ими же поля не описываются.
Пожалуй для электромагнитного поля можно описать движение частиц и поля
$\frac{\partial F_{nlk}}{\partial x^k}=-4\pi e u_{nl} \delta(\vec x-\vec x_0)$
$mc\frac{du_{nl}}{ds}=\frac{e}{c}\sum_{m,k} F_{nmlk}u^{mk}$
Но для гравитационного поля задача не решена. Где индекс n,m номер определенного тела.

[Red_Herring]

evgeniy в сообщении #884922 писал(а):

ОТО не определяет поле от нескольких объектов,

Да? А как насчет записи полевых уравнений ОТО?

[evgeniy]

Red_Herring в сообщении #884923 писал(а):

Да? А как насчет записи полевых уравнений ОТО?

Поясните, что Вы подразумеваете под полевыми уравнениями ОТО.

-- Пн июл 07, 2014 16:22:52 --

В случае произвольно действующей силы нужно ввести тензор силы, который в случае электромагнитного поля равен $F_{nmlk}=eF_{nmlk}^{EH}$, n и m поле, действующее со стороны частицы n на частицу m, пространственные и временные индексы равны l,k=0,...,3, а величина $F_{nmlk}^{EH}$ тензор напряженности электромагнитного поля. В случае гравитационного поля этот тензор силы инвариантен относительно преобразования Лоренца, и значит если в одной системе координат он содержит "электрическую силу", не пропорциональную трехмерной скорости, то в другой системе координат, он будет содержать "магнитную силу", пропорциональную скорости. В целом правая часть, инвариантная относительно преобразования Лоренца, будет содержать четырехмерную скорость, как в случае уравнений Максвелла для движущегося диэлектрика.
$mc^2\frac{du_{nl}}{ds}=\sum_{m,k} F_{nmlk}u^{mk}$

[Munin]

evgeniy в сообщении #884916 писал(а):

Этот параграф посвящен выводу уравнения ОТО. Уравнение ОТО описывает одно дискретное тело, и для двух и более тел не годится.

Нет, конечно. Нигде там не сказано про "одно дискретное тело". Напротив, сказано, что это уравнение действует во всём пространстве.

Red_Herring в сообщении #884917 писал(а):

Если Вы хотите ОТО, то тела взаимодействуют не сами по себе а через поля. Т.е. пишите уравнения каждого тела плюс уравнения ОТО. Впрочем, я не физик.

Вот из-за того, что вы не физик, вы своими репликами поддерживаете явный бред.

Краткая справка для нефизика Red_Herring.

(Оффтоп)

В классической механике "задача $N$ тел" формулируется для точечных частиц: каждая частица подчиняется уравнению движения точечной частицы во внешнем силовом поле (2 закону Ньютона), и вносит вклад в это поле для других частиц (закон всемирного тяготения Ньютона). Эта задача корректно поставлена. Поле в ней не обладает собственной динамикой.

В ОТО поле обладает собственной динамикой, и подчиняется уравнениям поля (в данном случае, уравнению(ям) Эйнштейна). В полевых теориях точечные частицы сложнее описывать, так как поле вблизи такой частицы уходит в бесконечность. Разделяют расчёт частицы как источника поля, и расчёт частицы, движущейся под действием поля. Для источника поля, условно принимают, что частица конечного размера с некоторой несингулярной плотностью заряда - это даёт конечное поле. Для частицы, движущейся под действием поля, можно предположить то же самое, но тогда придётся описывать внутренние силы в частице - когда поле тянет одну её часть, то как это распространяется на другие части. Другой вариант: считают, что заряд частицы пренебрежимо мал (пробная частица), тогда собственным вкладом частицы в поле можно пренебречь, и частицу можно рассматривать как точечную. Для пробных частиц можно поставить "задачу многих тел", но только для очень большого количества частиц, когда пренебрежимо малые заряды отдельных частиц складываются в значительный заряд, создающий заметное поле. Такая совокупность частиц рассматривается не индивидуально, а как среда.

В ОТО есть и ещё особенности, отличающие её от других теорий поля. Внутренние силы в телах и в веществе, которые в других полевых теориях можно было добавлять по своему желанию, в ОТО должны чётко и явно учитываться, поскольку они сами (силы!) являются источниками поля. В ОТО нельзя ввести абстракцию абсолютно жёстких связей, потому что геометрия пространства получается в результате движения тяготеющих источников, как получающаяся от этого конфигурация гравитационного поля. Итого, для частиц конечных размеров, необходимо задать собственные уравнения движения вещества в этих частицах - полноценные уравнения поля. В ОТО они называются "уравнением состояния вещества". И дальше необходимо решать эти уравнения движения вещества, и уравнения поля ОТО, совместно. Такую задачу можно поставить и решить точно, но проблема в том, что в отличие от уравнений поля ОТО, уравнения состояния вещества известны в реальности часто весьма приблизительно. Можно рассмотреть газ холодной звезды, можно - твёрдое вещество Земли (такое, что внутренние силы в нём пренебрежимо малы с плотностью массы - сопоставление идёт через коэффициент $1/c^2$), но часто интересна плазма с порогом ионизации (звезда), с термоядерными реакциями (центр звезды и взрыв звезды), с дополнительным давлением квантового вырожденного газа (белый карлик), или твёрдое вещество или жидкость при таких давлениях, что внутренними силами нельзя пренебречь (нейтронная звезда). Добавлю, что для решения уравнений ОТО для Вселенной в целом, принимают внутренние силы вообще отсутствующими (состояние после Большого Взрыва - так называемое "уравнение состояния пылевой материи"), или принимают уравнение состояния "горячего релятивистского газа" (то есть, скорости частиц сравнимы с $c$ - для расчёта самого Большого Взрыва, его горячих стадий).

Отдельно надо упомянуть, что в ОТО есть прекрасные приближения: ньютоновское, ряд пост-ньютоновских (из которых отдельно известно ППН - первое пост-ньютоновское), - которые замечательно описывают гравитационные поля и движение в них, пока величины гравитационного поля не достигают таких величин, как около чёрных дыр. Первые из этих приближений могут даже пренебрегать вышеупомянутыми внутренними силами и даже неточечностью частиц. Ньютоновское - даёт теорию Ньютона, собственно, и только иначе интерпретирует величину гравитационного потенциала.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #884959 писал(а):

В полевых теориях точечные частицы сложнее описывать, так как поле вблизи такой частицы уходит в бесконечность.

Конечно. Я имел в виду "тело" как сгусток вещества, возможно "почти точечный". Я понимаю, что это делает задачу неизмеримо более сложной, но в принципе не отменяет возможность рассматривать $N$ тел

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884985 писал(а):

Конечно. Я имел в виду "тело" как сгусток вещества, возможно "почти точечный".

Ну, такие расплывчатые формулировки в матфизике не проходят. Надо же что-то внятно поставить, чтобы решать.

Red_Herring в сообщении #884985 писал(а):

Я понимаю, что это делает задачу неизмеримо более сложной, но в принципе не отменяет возможность рассматривать $N$ тел

Она просто уже ничем принципиально не отличается от задачи поля вообще.

[VladTK]

evgeniy в сообщении #884886 писал(а):

Уравнения движения Ньютона позволяют составить уравнение, описывающие движение N тел и их центра тяжести под воздействием внешней силы. Возникает вопрос, каковы уравнения движения многих релятивистских тел...

Скажите evgeniy, а какой ответ Вас бы удовлетворил?

[evgeniy]

Munin в сообщении #884959 писал(а):

evgeniy в сообщении #884916
писал(а):
Этот параграф посвящен выводу уравнения ОТО. Уравнение ОТО описывает одно дискретное тело, и для двух и более тел не годится.
Munin
Нет, конечно. Нигде там не сказано про "одно дискретное тело". Напротив, сказано, что это уравнение действует во всём пространстве.

Приведу цитату полностью.

evgeniy в сообщении #884916 писал(а):

Этот параграф посвящен выводу уравнения ОТО. Уравнение ОТО описывает одно дискретное тело, и для двух и более тел не годится. Возможно описание пылевидной материи, откуда получено уравнение расширения Вселенной. Но непрерывную среду описывает релятивистское уравнение Навье - Стокса. Но для N тел, уравнение ОТО не приспособлено. Я же говорю об уравнении движения N тел, под действием силы взаимодействия между ними, например гравитационного.

Т.е. совсем не "Нет, конечно". я и говорю далее, что уравнение ОТО действует и для пылевидной материи и не говорю, что уравнение ОТО не действует во всем пространстве.

ОТО не описывает взаимодействие N тел. Она описывает поле одного тела, и движение во всем пространстве множества тел с малой массой под действием поля, созданного одним телом, причем воздействием тел с малой массой на тело, создающее поле, пренебрегаем. Или ОТО описывает среду, заданную уравнением состояния. ОТО также позволяет построить приближенную функцию Лагранжа для многих тел и значит описать их движение. Но функция Лагранжа построена приближенно, и при скоростях близких к скорости света имеет большую погрешность.
Взаимодействие нескольких тел ОТО не описывает. Если вы утверждаете противное, то приведите пример метрического тензора, созданного несколькими телами. Причем с учетом воздействия этого метрического тензора на другие тела.
VladTK
Меня бы удовлетворили уравнения движения N тел, с учетом взаимодействия между телами. Т.е. с учетом силы, действующей между каждой парой тел, причем воздействие остальных тел должно складываться. Причем это уравнение движения должно быть инвариантно относительно преобразования Лоренца.

[Munin]

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Она описывает поле одного тела, и движение во всем пространстве множества тел с малой массой

и с большой массой.

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

под действием поля, созданного одним телом

и многими телами.

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Или ОТО описывает среду, заданную уравнением состояния.

Что и есть полноценное описание задачи $N$ тел.

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Взаимодействие нескольких тел ОТО не описывает.

От того, что вы это будете твердить и твердить, правдой это не станет.

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Если вы утверждаете противное, то приведите пример метрического тензора, созданного несколькими телами.

$g_{\mu\nu}.$

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Причем с учетом воздействия этого метрического тензора на другие тела.

$\dfrac{\partial(\sqrt{-g}\mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial q}-\partial_\mu\dfrac{\partial(\sqrt{-g}\mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial(\partial_\mu q)}+\ldots+(-1)^n\partial_{\mu_1}...\partial_{\mu_n}\dfrac{\partial(\sqrt{-g}\mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial(\partial_{\mu_1}...\partial_{\mu_n}q)}=0.$

evgeniy в сообщении #885631 писал(а):

Меня бы удовлетворили уравнения движения N тел, с учетом взаимодействия между телами. Т.е. с учетом силы, действующей между каждой парой тел, причем воздействие остальных тел должно складываться.

К сожалению, это невозможно. Потому что, для начала, воздействия в ОТО не складываются.

Разумеется, если ваши запросы и требования физически неграмотны, то удовлетворить им невозможно. Природа и физика не такова, как вам хочется.