Вычисление одного интеграла

[4arodej]

Кто поможет вычислить \int\limits_0^1 x^{10}\sin x^2 dx?

[Capella]

Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

[4arodej]

Capella писал(а):

Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

А дальше? Там не так всё легко!

[Someone]

Capella писал(а):

Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

После чего всё сведётся к интегралу Френеля $\mathrm C(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x\frac{\cos y}{\sqrt{y}}dy=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_0^{\sqrt{x}}\cos t^2dt$, который через элементарные функции не выражается (Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. II. "Наука", Москва, 1974):

$$\int\limits_0^1x^{10}\sin x^2dx=\frac{1}{64}\left(945\sqrt{2\pi}\mathrm C(1)-1418\cos 1-1116\sin 1\right)$$

.

Правка. Вставил $\sqrt{2\pi}$, который потерял при наборе.

[maxal]

Мапл говорит такой ответ:

- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))

Судя по тому, что здесь присутствует интеграл Френеля, особо упростить не удастся.

[4arodej]

спасибо

[Someone]

maxal писал(а):

Мапл говорит такой ответ:

- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))

Да, Mathematica 4.1 даёт такой же (в чуть более читаемой форме), причём, $\mathrm{FresnelC}(z)=\int\limits_0^z\cos\frac{\pi t^2}{2}dt=\mathrm C\left(\sqrt{\frac{\pi z^2}{2}}\right)$

[Capella]

Если нужен просто ответ, то моя Mathematica 5.0 дала мне разумеется такой-же. Тогда я решила посчитать (особо не рассчитывая на успех) на Texas Instruments Voyage 200 и, о чудо!, он выдал числовой ответ: 0.067508
Так что вот так

добавлено

Кстати, Математика выдаёт точно такой-же ответ, если в конце интеграла сделать приписку //N