2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление одного интеграла
Сообщение01.02.2006, 14:52 
Кто поможет вычислить \int\limits_0^1 x^{10}\sin x^2 dx?

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 15:10 
Аватара пользователя
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 15:52 
Capella писал(а):
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

А дальше? Там не так всё легко!

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:03 
Аватара пользователя
Capella писал(а):
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.


После чего всё сведётся к интегралу Френеля $\mathrm C(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x\frac{\cos y}{\sqrt{y}}dy=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_0^{\sqrt{x}}\cos t^2dt$, который через элементарные функции не выражается (Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. II. "Наука", Москва, 1974):
$$\int\limits_0^1x^{10}\sin x^2dx=\frac{1}{64}\left(945\sqrt{2\pi}\mathrm C(1)-1418\cos 1-1116\sin 1\right)$$.

Правка. Вставил $\sqrt{2\pi}$, который потерял при наборе.

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:03 
Аватара пользователя
Мапл говорит такой ответ:
Код:
- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))

Судя по тому, что здесь присутствует интеграл Френеля, особо упростить не удастся.

 
 
 
 спасибо
Сообщение01.02.2006, 16:17 
спасибо

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:23 
Аватара пользователя
maxal писал(а):
Мапл говорит такой ответ:
Код:
- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))



Да, Mathematica 4.1 даёт такой же (в чуть более читаемой форме), причём, $\mathrm{FresnelC}(z)=\int\limits_0^z\cos\frac{\pi t^2}{2}dt=\mathrm C\left(\sqrt{\frac{\pi z^2}{2}}\right)$

 
 
 
 
Сообщение01.02.2006, 19:29 
Аватара пользователя
Если нужен просто ответ, то моя Mathematica 5.0 дала мне разумеется такой-же. Тогда я решила посчитать (особо не рассчитывая на успех) на Texas Instruments Voyage 200 и, о чудо!, он выдал числовой ответ: 0.067508
Так что вот так :)

добавлено

Кстати, Математика выдаёт точно такой-же ответ, если в конце интеграла сделать приписку //N :D

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group