Элементарные преобразования матриц. Строки или столбцы?

[kis]

Элементарными преобразованиями строк называют:

Цитата:

перестановку местами любых двух строк матрицы;
умножение любой строки матрицы на константу $k\!, k \neq 0\!$;
прибавление к любой строке матрицы другой строки.

Почему часто говорят, что эти преобразования справедливы для строк, но ничего не говорят, верны ли эти утверждения для столбцов? Метод так и называется Элементарные преобразования строк. Но ведь тоже самое справедливо для столбцов.

Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?

[demolishka]

Кому как нравится

[iifat]

М-да. Под маской справедливых преобразований скрывались злобные и людоедские. Ви таки об чём изволите рассуждать?

[Munin]

Идея очень простая. К столбцам всё то же самое относится. Но вы сначала со строками разберитесь :-)

[Someone]

Вероятно, где-то около начала было сказано что-нибудь типа "поскольку строки и столбцы матрицы равноправны, все свойства, доказанные для строк, справедливы также и для столбцов; поэтому мы дальше будем говорить только о строках, имея в виду, что для столбцов это тоже верно".

[Red_Herring]

kis в сообщении #884165 писал(а):

Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?

А зачем Вам нужны элементарные преобразования строк? Какая цель? Ответьте на этот вопрос сначала. И, кстати, как называется тот раздел учебника, в котором Вы взяли то определение?

[Munin]

Уточнение: элементарные операции над строками матрицы $M$ производятся умножением на неё слева квадратных матриц специального вида. Элементарные операции над столбцами матрицы $M$ производятся умножением на неё аналогичный квадратных матриц уже справа. (Матрицы аналогичные, а не те же самые, потому что $M$ может быть не квадратной, и тогда эти матрицы элементарных операций - будут разных размеров.)

[ex-math]

Как уже намекнул Red_Herring, уравнения принято записывать в строчку, а не в столбец.

[Munin]

Эх, вот если бы матрицы тоже было принято записывать в строчку!

[svv]

kis в сообщении #884165 писал(а):

Видимо о столбцах не говорят умышленно. Их что, трогать не комильфо?

Да, если это матрица СЛАУ. Многие предпочитают такие методы решения систем $Ax=b$, которые «не трогают» вектор $x$, не заменяют его таким $x'$, в котором неизвестные переставлены. Иначе приходится ещё запоминать, какой сейчас порядок неизвестных в векторе.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #758548 писал(а):

Пусть имеется матрица $A=(a_i^j)$. Поставим ей в соотвентствие векторы $v_k=a_k^se_s$, где $\{e_s\}$ -- базис пространства. Т.е. $k$-ый столбец матрицы это координаты вектора $v_k$

1) Умножение $i$-ой строки матрицы на $\lambda\ne 0$ это соответствует переходу к новому базису $e_l=e'_l$ при $l\ne i$ и $e_i=\lambda e'_i$

2) Добавлению $p-$строки к $m$-строке соотвествует переход к базису $e_p=e'_p+e'_m,\quad e'_i=e_i,\quad i\ne p$

3) поменять местами две строки -- сами догадайтесь какому преобразованию базиса это соответствует.

Из этого наблюдения, например, следует, что если несколько столбцов матрицы линейно независимы, то они и останутся таковыми после элементарных преобразований строк. -- Переход к новому базису не влияет на линейную зависимость векторов

[Otta]

Oleg Zubelevich
Почему оффтоп?

[ewert]

kis в сообщении #884165 писал(а):

Почему часто говорят, что эти преобразования справедливы для строк, но ничего не говорят, верны ли эти утверждения для столбцов?

Для простоты ради.

Потому, что преобразования строк абсолютно безобидны -- это попросту соответствующие операции над уравнениями.

Со столбцами уже сложнее. Их перестановки требуют переобозначения переменных, за которыми следить -- некоторая морока. С другой стороны, теоретически такие перестановки не так уж и необходимы, поэтому обычно и заминаются для краткости.

Практически -- вопрос другой, для практических вычислений перестановки столбцов практически же и необходимы, и при щепетильной постановке курса всегда оговариваются. (Именно перестановки; линейные операции над столбцами так никому и не нужны, если не говорить о каких-то специальных алгоритмах; а вот перестановки -- необходимы.)

[Munin]

Какие вы все телепаты. Сказано же: матрицы! А про СЛАУ ничего не сказано.

(P. S. СЛАУ можно записать и в виде $x^\mathrm{T}A=b^\mathrm{T}.$)

[Red_Herring]

Если нас интересует ранг матрицы, то можно преобразовывать и в хвост и в гриву (т.е. и столбцы, и строки).

То же, если считаем определитель (только вот некоторые из элементарных преобразований придется не то чтобы совсем убрать, но брать на заметку).

Если решаем СЛАУ записанных в строки, то столбцов обычно лучше не трогать. Если решаем СЛАУ записанных в столбцы, то все наоборот.