Разложение аффинного преобразования плоскости

[Eldar]

Приветствую!
Известен факт, что любое аффинное преобразование плоскости является композицией некоторого ортогонального преобразования и двух сжатий к взаимно перпендикулярным прямым.
Но вот вопрос - как искать такое представлени? Например как разложить такое аффинное преобразование $ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ в виде композиции ортогонального и сжатий?
Композиция сжатий вдоль осей является диагональной матрицей, ортогональное преобразование задаётся ортогональной матрией. Мне приходит на ум только в лоб искать нужные матрицы:
$ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$, где матрица $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ является ортогональной.
Но как-то решение у него не ищется. Подскажите как в общем случае это делается, ну или в данном конкретном.

-- Чт июл 03, 2014 17:00:23 --

Если начать искать матрицы, которые удовлетворяют равенству, то получим $a=b, c=0$, то есть такую вторую матрицу из правой части \left( \begin{array}{cc} a & a \\ 0 & d \end{array} \right), а она заведомо не может быть ортогональной. Это доказывает что избранный мной подход не верен. Но как быть?

[nnosipov]

Прочитайте где-нибудь про полярное разложение линейного оператора, первый и второй сингулярный базис. Это есть, например, в книге Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.

[Munin]

Ортогональная матрица $2\times 2$ имеет общий вид

$$\begin{pmatrix}\hphantom{+}c&\hphantom{+}s\\\mp s&\pm c\end{pmatrix},$$

где $c^2+s^2=1,$ или $c=\cos\theta,\quad s=\sin\theta$ для некоторого $\theta.$ В таком виде её и ищите.

[Eldar]

Munin в сообщении #883562 писал(а):

Ортогональная матрица $2\times 2$ имеет общий вид

$$\begin{pmatrix}\hphantom{+}c&\hphantom{+}s\\\mp s&\pm c\end{pmatrix},$$

где $c^2+s^2=1,$ или $c=\cos\theta,\quad s=\sin\theta$ для некоторого $\theta.$ В таком виде её и ищите.

На самом деле нет разницы в каком виде искать ортогональную матрицу. Если по вашему, то получаем $d_1c=1, d_1s = 1, \mp d_2s=0, \pm d_2c=1$. Имеем, что $s = 0$, так как $d_2\neq0$, противоречие с тем, что $d_1s = 1$. Очевидно надо искать разложение в каком-то другом виде.

[nnosipov]

Eldar в сообщении #883529 писал(а):

Композиция сжатий вдоль осей является диагональной матрицей, ортогональное преобразование задаётся ортогональной матрией. Мне приходит на ум только в лоб искать нужные матрицы:
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$, где матрица $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ является ортогональной.

Вот здесь у Вас ошибка: такое разложение исходной матрицы не гарантируется, интерпретация полярного разложения линейного оператора в матричной форме выглядит не так. А как?

[Munin]

Eldar в сообщении #883867 писал(а):

На самом деле нет разницы в каком виде искать ортогональную матрицу.

Я вам помочь хочу. Вы явно тыкнулись не туда, я показываю правильную дорогу.

Хотите - ищите ортогональную матрицу в произвольном виде. Но у вас же не получается!

Eldar в сообщении #883867 писал(а):

Имеем, что $s = 0$, так как $d_2\neq0$, противоречие с тем, что $d_1s = 1$.

Ну вот, видите, с предложенным мной видом - моментально разобрались. Да, противоречие. Таких диагональной и ортогональной матриц не существует.

А то, что я указал наиболее общий вид произвольной ортогональной $2\times 2$ матрицы, можете проверить сами.

Eldar в сообщении #883867 писал(а):

Очевидно надо искать разложение в каком-то другом виде.

nnosipov в сообщении #883890 писал(а):

Вот здесь у Вас ошибка: такое разложение исходной матрицы не гарантируется

[Eldar]

Попробую быть более конкретным. Сформулированный в шапке факт можно прочитать, например тут на странице 647 предложение 1. Если вдоваться в доказательство, то надо как-то найти пару ортогональных векторов, таких что их образы ортогональны, а потом сжимать вдоль них. Пока не понятно как искать такую пару.

Матрицу оператора можно разложить в сингулярное разложение $A = U\Lambda V^T$. Геометрический смысл SVD похож на то, что постулируется в предложении 1, но он иной. Там есть пара диагональных и ортогональная, а тут пара ортогональных и диагональная. И вообще какая-то не очевидная связь получается. И да, в SVD я таки разложил эту матрицу.

Вопрос то изначально простой, в каком виде искать получающееся разложение оператора.

[Munin]

Тогда вы попросту ошиблись в том, какого вида искать матрицы. У вас "сжимающая" матрица должна быть не диагональной, а эрмитовой (самосопряжённой) произвольного вида. Такие матрицы имеют общий вид

$$\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}\\d_{12}&d_{22}\end{pmatrix},$$

обратите внимание на равенство побочно-диагональных элементов.

Теперь вы сможете найти решение?

[nnosipov]

Eldar в сообщении #884017 писал(а):

Пока не понятно как искать такую пару.

Потому что Вы читаете какие-то допотопные изложения, да ещё и только для 2- и 3-мерного случаев. Читайте Беклемишева, чтобы разобраться в общем случае.

Впрочем, геометрически на плоскости дело обстоит так: нужно посмотреть, в какой эллипс данный оператор отправляет единичную окружность; так вот, главные оси этого эллипса --- это и есть искомая пара направлений (главные оси эллипса определяют второй сингулярный базис, а первым сингулярным базисом будет его прообраз).

Eldar в сообщении #884017 писал(а):

И вообще какая-то не очевидная связь получается. И да, в SVD я таки разложил эту матрицу.

Здесь речь идёт о полярном разложении. Знаете ли Вы, что такое оператор, сопряжённый данному линейному оператору? Что такое самосопряжённый линейный оператор? Что самосопряжённый линейный оператор приводится к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе? Как это сделать практически? После того, как эти вопросы будут разъяснены, полярное разложение уже будет легко понять.

Munin в сообщении #884018 писал(а):

Теперь вы сможете найти решение?

Даже если и сможет, это не метод.

[Munin]

nnosipov в сообщении #884071 писал(а):

Потому что Вы читаете какие-то допотопные изложения, да ещё и только для 2- и 3-мерного случаев.

Да нормальное изложение, а 2-3-мерный случай - естественно для курса "аналитической геометрии".

Проблема в другом - в понимании текста. Растяжение и сжатие по двум перпендикулярным направлениям - это не обязательно диагональная матрица. Потому что эти два перпендикулярных направления - не обязательно приведены в положение осей координат.

nnosipov в сообщении #884071 писал(а):

Даже если и сможет, это не метод.

Ну, для выдуманного им метода - это успех. А дальше уже можно развивать успех, рассказывая про более мощные рассуждения и подходы.

[Eldar]

Munin в сообщении #884108 писал(а):

Растяжение и сжатие по двум перпендикулярным направлениям - это не обязательно диагональная матрица.

То есть общий вид матрицы сжимающего отображения это эрмитова (самосопряжённая) матрица? То есть всегда эрмитова (самосопряжённая) матрица задаёт сжимающее отображение и обратно? Про сжимающие отображения в произвольно базисе ничего не встречал, только относительно главных осей. Сейчас посмотрю как выглядит матрица сжимающая $\mathbb{R}^2$ относительно прямой $x+y=1$ в 2 раза.

[Munin]

Eldar в сообщении #884149 писал(а):

То есть общий вид матрицы сжимающего отображения это эрмитова (самосопряжённая) матрица?

Слово "сжимающее отображение" в математике зарезервировано для кое-чего другого.

Да, в том смысле, который вы подразумевали, - да.

Eldar в сообщении #884149 писал(а):

Сейчас посмотрю как выглядит матрица сжимающая $\mathbb{R}^2$ относительно прямой $x+y=1$ в 2 раза.

Извините, прямая должна проходить через ноль. Иначе отображение просто не будет выражаться матрицей.