2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Волки и собаки
Сообщение10.06.2014, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Сегодня встретился с такой задачей.

На прямоугольный охраняемый собаками участок со сторонами $a$ и $b$ прокрался волк, который был обнаружен собаками, когда он стоял на середине этого участка. Четыре одинаковые собаки встали в четырёх углах этого участка и могут бегать только по его периметру, а волк - как угодно. Одна собака не может остановить волка, а две и более - могут. Каково должно быть отношение максимальных скоростей волка и собаки, чтобы при грамотной тактике собаки не выпустили волка?

У меня возникла гипотеза о том, что нужно исследовать бег волка по диагонали и по кратчайшему направлению.

Пусть, для определенности, $a\leqslant b$. Тогда расстояние от волка до ближайшей стороны прямоугольника $\dfrac{a}{2}$, а дополнительная собака бежит по длинной стороне. Тогда
$$t_{\text{волк}} = \dfrac{a}{2v_{\text{волк}}} \geqslant \dfrac{b}{2v_{\text{соб}}}$$
$$\dfrac{v_{\text{волк}}}{v_{\text{соб}}} \leqslant \dfrac{a}{b}$$

Пусть теперь волк бежит в собаку по половинке диагонали. Тогда дополнительная собака бежит по короткой стороне. Тогда
$$t_{\text{волк}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}}{v_{\text{волк}}} \geqslant \dfrac{a}{v_{\text{соб}}}$$
$$\dfrac{v_{\text{волк}}}{v_{\text{соб}}} \leqslant \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2a}$$

Но, по всей видимости, это неправильное решение. Расскажите, пожалуйста, куда копать.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение25.06.2014, 08:00 
Аватара пользователя


21/01/09
3923
Дивногорск
Собаки стоят по углам прямоугольника $ABCD$, а волк на пересечении диагоналей. Пусть волк побежал по короткому расстоянию к стороне $AB$, тогда обе собаки $A$ и $B$ должны бежать навстречу друг другу к точке предполагаемой встречи с волком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение25.06.2014, 08:17 


08/05/08
593
Зачеркнуто
Вообще, прямыми маршутами волка дело не ограничивается. Понятно, что направляясь к периметру, он сковывает собой 3 собаки. А если он потом в последний момент развернется против одной оставшейся?

-- Ср июн 25, 2014 11:44:26 --

А вообще, если волк бежит по перпендикуляру к одной из диагоналей, то вычисленной скорости собаки хватит на все, вопрос в другом: нет ли собачьей скорости поменьше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение25.06.2014, 09:02 


14/01/11
2916
Думаю, волк вполне мог бы устремиться к точке, равноудалённой от двух диагональных собак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение25.06.2014, 09:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Если скорость собак превосходит скорость волка менее чем в $\sqrt2$, то волк сбежит. Например, волк может сначала заманить собак на середину меньшей стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение25.06.2014, 09:46 


08/05/08
593
Ок, а я скажу, что надумал, когда он точно не сбежит:
Проведем через позицию волка прямые, параллельные диагоналям. Если собакам удается оставаться на точках их пересчечения со сторонами, то волк точно не сбежит. А мин скорость такой собаки - это необходимая скорость, когда волк бежит по перпендикуляру к диагонали. Вопрос только в том, нет ли у собак лучшего алгоритма действовать?

УПД. Все, понял, нету. Он может быть толкьо в случае, если к той точке, к которой бежит волк по перпендикуляру к диагонали, может добажать еще 1 собака быстрее, чем та, дальняя, а щас понял, почему это невозможно

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение03.07.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
А задачка-то прилипчивая. Который день из головы выбросить не могу. До решения, впрочем, пока не добрался. Размышляю над более простым частным случаем произвольной выпуклой области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение04.07.2014, 05:04 


08/05/08
593
Утундрий в сообщении #883716 писал(а):
А задачка-то прилипчивая. Который день из головы выбросить не могу. До решения, впрочем, пока не добрался.

Вот же решение:
ET в сообщении #879582 писал(а):
Проведем через позицию волка прямые, параллельные диагоналям. Если собакам удается оставаться на точках их пересчечения со сторонами, то волк точно не сбежит. А мин скорость такой собаки - это необходимая скорость, когда волк бежит по перпендикуляру к диагонали.

Лучшеей стратегии действовать для собак вроде как нет

Утундрий в сообщении #883716 писал(а):
Размышляю над более простым частным случаем произвольной выпуклой области.

А это точно более простой случай? Пусть область круг, а собака всего одна и одной достаточно. Это значительно более сложный случай, где действительно прямыми маршрутам волка дело не исчерпывается. Волку тогда придется:
1. Занять позицию, противоположную позиции собаки относительно центра на окружности, радиуса равного отношению скоростей волка и собаки
2. И даже после этого бежать хитрым маршрутом

-- Пт июл 04, 2014 08:32:22 --

Зы. Вот этот 2й случай несколько лет назад на другом форуме разбирался:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1064849639

 Профиль  
                  
 
 Re: Волки и собаки
Сообщение04.07.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
ET в сообщении #883782 писал(а):
Вот же решение:

Возможно, но мне-то интересна задача, а не её решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group