Волки и собаки

[StaticZero]

Сегодня встретился с такой задачей.

На прямоугольный охраняемый собаками участок со сторонами $a$ и $b$ прокрался волк, который был обнаружен собаками, когда он стоял на середине этого участка. Четыре одинаковые собаки встали в четырёх углах этого участка и могут бегать только по его периметру, а волк - как угодно. Одна собака не может остановить волка, а две и более - могут. Каково должно быть отношение максимальных скоростей волка и собаки, чтобы при грамотной тактике собаки не выпустили волка?

У меня возникла гипотеза о том, что нужно исследовать бег волка по диагонали и по кратчайшему направлению.

Пусть, для определенности, $a\leqslant b$. Тогда расстояние от волка до ближайшей стороны прямоугольника $\dfrac{a}{2}$, а дополнительная собака бежит по длинной стороне. Тогда

$$t_{\text{волк}} = \dfrac{a}{2v_{\text{волк}}} \geqslant \dfrac{b}{2v_{\text{соб}}}$$

$$\dfrac{v_{\text{волк}}}{v_{\text{соб}}} \leqslant \dfrac{a}{b}$$

Пусть теперь волк бежит в собаку по половинке диагонали. Тогда дополнительная собака бежит по короткой стороне. Тогда

$$t_{\text{волк}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}}{v_{\text{волк}}} \geqslant \dfrac{a}{v_{\text{соб}}}$$

$$\dfrac{v_{\text{волк}}}{v_{\text{соб}}} \leqslant \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2a}$$

Но, по всей видимости, это неправильное решение. Расскажите, пожалуйста, куда копать.

Спасибо.

[Александрович]

Собаки стоят по углам прямоугольника $ABCD$, а волк на пересечении диагоналей. Пусть волк побежал по короткому расстоянию к стороне $AB$, тогда обе собаки $A$ и $B$ должны бежать навстречу друг другу к точке предполагаемой встречи с волком.

[ET]

Зачеркнуто
Вообще, прямыми маршутами волка дело не ограничивается. Понятно, что направляясь к периметру, он сковывает собой 3 собаки. А если он потом в последний момент развернется против одной оставшейся?

-- Ср июн 25, 2014 11:44:26 --

А вообще, если волк бежит по перпендикуляру к одной из диагоналей, то вычисленной скорости собаки хватит на все, вопрос в другом: нет ли собачьей скорости поменьше?

[Sender]

Думаю, волк вполне мог бы устремиться к точке, равноудалённой от двух диагональных собак.

[TOTAL]

Если скорость собак превосходит скорость волка менее чем в $\sqrt2$, то волк сбежит. Например, волк может сначала заманить собак на середину меньшей стороны.

[ET]

Ок, а я скажу, что надумал, когда он точно не сбежит:
Проведем через позицию волка прямые, параллельные диагоналям. Если собакам удается оставаться на точках их пересчечения со сторонами, то волк точно не сбежит. А мин скорость такой собаки - это необходимая скорость, когда волк бежит по перпендикуляру к диагонали. Вопрос только в том, нет ли у собак лучшего алгоритма действовать?

УПД. Все, понял, нету. Он может быть толкьо в случае, если к той точке, к которой бежит волк по перпендикуляру к диагонали, может добажать еще 1 собака быстрее, чем та, дальняя, а щас понял, почему это невозможно

[Утундрий]

А задачка-то прилипчивая. Который день из головы выбросить не могу. До решения, впрочем, пока не добрался. Размышляю над более простым частным случаем произвольной выпуклой области.

[ET]

Утундрий в сообщении #883716 писал(а):

А задачка-то прилипчивая. Который день из головы выбросить не могу. До решения, впрочем, пока не добрался.

Вот же решение:

ET в сообщении #879582 писал(а):

Проведем через позицию волка прямые, параллельные диагоналям. Если собакам удается оставаться на точках их пересчечения со сторонами, то волк точно не сбежит. А мин скорость такой собаки - это необходимая скорость, когда волк бежит по перпендикуляру к диагонали.

Лучшеей стратегии действовать для собак вроде как нет

Утундрий в сообщении #883716 писал(а):

Размышляю над более простым частным случаем произвольной выпуклой области.

А это точно более простой случай? Пусть область круг, а собака всего одна и одной достаточно. Это значительно более сложный случай, где действительно прямыми маршрутам волка дело не исчерпывается. Волку тогда придется:
1. Занять позицию, противоположную позиции собаки относительно центра на окружности, радиуса равного отношению скоростей волка и собаки
2. И даже после этого бежать хитрым маршрутом

-- Пт июл 04, 2014 08:32:22 --

Зы. Вот этот 2й случай несколько лет назад на другом форуме разбирался:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1064849639

[Утундрий]

ET в сообщении #883782 писал(а):

Вот же решение:

Возможно, но мне-то интересна задача, а не её решение.