Квантовый осциллятор в картине Гейзенберга

[Ascold]

Листая Бьёркена и Дрелла поймал себя на том, что не понимаю некоторые рассуждения. Во втором томе, на стр. 17 не получается вывести формулу (11.20), там написано:

$$(\Psi_m , \Psi_n) = \delta_m,_n (n!)(\Psi_0 , \Psi_0)$$

Не понимаю, откуда выпрыгнул n!. Ну и далее вывод следующих соотношений тоже неясен, поскольку не вижу, откуда лезут эти самые n и n+1, ведь из формулы (11.19):

$$\Psi_n = (a_0^+)^n\Psi_0$$

это вроде бы не следует, а для осциллятора n - просто номер энергетического состояния.

[Ms-dos4]

Они видимо не нормировали $\[{\Psi _n}\]$

[Munin]

(Оффтоп)

Ascold в сообщении #882778 писал(а):

Листая Бьёркена и Дрелла

Листая введение к Пескину и Шрёдеру, я вычитал, что Бьёркен и Дрелл подустарели. Ну, это к слову.

Проблема в квантовом осцилляторе не в картине Гейзенберга (под этим понимается перенос зависимости от времени с волновых функций на операторы), а в картине лестничных операторов.

Остро советую открыть Мессиа и прочитать последнюю главу 1 тома (это глава 12). Просто отдельно от всего, и прежде всего.

После этого всё станет яснее. К сожалению, это материал, активно используемый везде в КТП, но практически нигде не излагаемый отдельно в КТП, а в книгах по КМ изложен с подробностью и полнотой редко. Например, у того же Ландау этого нет.

[Ascold]

Цитата:

остро советую открыть Мессиа и прочитать последнюю главу 1 тома (это глава 12).

Спасибо, прочитал, теперь разобрался, откуда те формулы пошли.

Цитата:

Листая введение к Пескину и Шрёдеру, я вычитал, что Бьёркен и Дрелл подустарели. Ну, это к слову.

Я не привязываю себя к какой-то конкретной книге, а каноническое квантование читаю не по Пескину и Шредеру, т.к. оно там не особо подробно (в плане деталей расчётов) расписано.
Впрочем, если не надоест, буду далее придерживаться в освоении КТП и частиц "теорминимума Рубакова".

[Munin]

(Оффтоп)

Ascold в сообщении #883753 писал(а):

Впрочем, если не надоест, буду далее придерживаться в освоении КТП и частиц "теорминимума Рубакова".

Хорошая программа. Кстати, Бьёркена, Дрелла в ней как раз и нет :-)

Считаю очень глубоким тот insight, что операторы рождения-уничтожения в представлении вторичного квантования для бозонов ведут себя точно так же, как "лестничные" операторы повышения-понижения в гармоническом осцилляторе. То, что мы считали частицами, веществом, субстанцией, - на самом деле, всего лишь возбуждение! Возбуждение чего-то более универсального, единого внепространственного (потому что мы в пространстве импульсов) поля.

[Red_Herring]

Ascold в сообщении #882778 писал(а):

ведь из формулы (11.19):

$$\Psi_n = (a_0^+)^n\Psi_0$$

это вроде бы не следует,

Разумеется это следует из этой конкретной формулы, коммутатора и определения $\Psi_0$! Если $\Psi_n=a^+\Psi_{n-1}$, то

$$\langle \Psi_n,\Psi_n \rangle = \langle a^+\Psi_{n-1},a^+\Psi_{n-1} \rangle = \langle aa^+\Psi_{n-1},\Psi_{n-1} \rangle= n \langle\Psi_{n-1},\Psi_{n-1} \rangle;$$

надо еще доказать что $aa^+\Psi_{n-1} =n \Psi_{n-1}$, но это тоже по индукции исходя из этого же определения и коммутатора $[a,a^+]$.

[Munin]

(jokingly)

Извлекая корень, получаем $\Psi_n=\sqrt{n}\Psi_{n-1}$...

[Ascold]

Цитата:

Возбуждение чего-то более универсального, единого внепространственного (потому что мы в пространстве импульсов) поля.

а вот здесь непонятно - про пространство импульсов. Ведь операторы a и a+ являются комбинациями операторов координаты и импульса, которые можно всегда выразить как в импульсном, так и в координатном представлении.
Или же речь о том, что 4-импульс поля выражается через понижающий и повышающий операторы?

[Munin]

Ascold в сообщении #886231 писал(а):

Ведь операторы a и a+ являются комбинациями операторов координаты и импульса

Это они являются комбинациями операторов обобщённых (канонических, динамических) координаты и импульса $q,p,$ которыми вы описываете осциллятор.

А я про обычные пространственные координаты $x,y,z,t,$ которые надо преобразовать по Фурье в $k_x,k_y,k_z,\omega,$ чтобы получить осцилляторы (чтобы превратить дифференциальное волновое уравнение в алгебраическое).

Отдельный фотон - это возбуждение одного отдельного осциллятора на одну ступеньку. Но где этот осциллятор? Он занимает собой всё пространство! Мы его возбуждаем - во всём пространстве появляется плоская волна. Добавляем ещё фотон, возбуждаем осциллятор ещё на ступеньку - эта же самая волна усиливается по амплитуде.

Разумеется, из таких фотонов можно собирать суперпозицией другие фотоны, например, образующие волновые пакеты, ограниченные в пространстве, и летящие куда-то. Но при этом теряется то свойство, что мы имеем точно определённые значения импульса (длины волны) и энергии (частоты) фотона.

В тёмном уголке Ландау-Лифшица, во 2 томе § 52 "Собственные колебания поля", спрятан хороший и лаконичный рассказ о разложении поля (классического) на осцилляторы.

[AlexeyVB]

Munin в сообщении #883820 писал(а):

То, что мы считали частицами, веществом, субстанцией, - на самом деле, всего лишь возбуждение! Возбуждение чего-то более универсального, единого внепространственного (потому что мы в пространстве импульсов) поля.

Я заранее извиняюсь за свой комментарий, но у меня возник вот какой вопрос, а разве не об этом говорится в теории струн, что частицы являются результатом вибрации (возбуждения) струн? Как это может быть связано между собой? И где можно почитать про эту теорию о пространстве импульсов?

[Munin]

На самом деле, в теории струн говорится о ещё более глубокой вещи.

В теории поля, в каждой точке пространства (точнее, пространства импульсов) существует осциллятор, который, возбуждаясь по ступенькам, описывает частицы, а в невозбуждённом состоянии описывает вакуум. Точнее, там несколько осцилляторов - столько, сколько есть разных полей. Например, электромагнитный (точнее, целых три, потому что он векторный), для поля электронов, для поля нейтрино, для полей кварков, для поля глюонов, и так далее.

А в теории струн, в каждой точке пространства - не вот этот вот конечный (и очень короткий) набор осцилляторов, а бесконечно много таких осцилляторов. Они отвечают колебаниям струны, находящейся в этой точке пространства. Можно считать, что они распадаются на моды (как колебания обычной струны на гармоники - основной тон, обертон, и так далее), и тогда вот этим "обычным" полям" соответствуют первые несколько самых низших по энергии мод.

Где почитать - вопрос двухслойный. На классическом уровне - мы можем тогда говорить только про классические поля, например, электромагнитное, - это можно почитать в учебниках по "ураматам" - по уравнениям математической физики. И также в учебниках по электродинамике, по теории поля.

На квантовом уровне - выясняется, что такие "частицы вещества", как электроны, протоны, нейтроны, тоже являются возбуждениями полей, только специальных, квантовых полей - электронного, протонного, нейтронного. Про это можно почитать в учебниках по квантовой электодинамике, по квантовой теории поля. Но они требуют большой подготовки. Минимум: классическая теория поля + СТО + квантовая механика на хорошем уровне (включая навыки работы с операторами.