Это не доказательство ВТФ, а просто поиск свойств чисел

,

,

которые должны удовлетворять формуле

, и быть при этом натуральными
Пишу тут с целью убедиться в правильности или неправильности моих мыслей. Первоначально имелись ввиду все нечетные степени, но в соответствии с правилами форума пришлось исправить для конкретного варианта с 3 степенью.
Гипотеза 1. предположим что ВТФ для 3 степени имеет решение. Тогда в уравнении


и одно из (

или

) являются точными квадратами. Т.е. уравнение

равносильно уравнению

, где

и

-также являются натуральными числами.
Доказательство:
Рассмотрим минимальный вариант решения

, в котором

,

,

- натуральные, попарно взаимно простые.
Делаем такое преобразование:

Находим его решения по формулам нахождения Пифгоровых троек, с тем отличием, что числа в этих тройках могут быть иррациональными.



рассмотрим

, так как

- целое число, то иррациональность

соответствует наличию среди его множителей квадратного корня. Т.е. имеются такие варианты:
1. 
,

- целые, приводит к тому что, корни уравнения

являются квадратами, т.е. уравнение преобразовывается в
2. 
- целое,

- иррациональное вида

или наоборот, или даже оба иррациональные с иррациональностью в виде квадратного корня, то это приводит к тому что x и z являются квадратами, так как

и

натуральные. т.е.
3. оба иррациональные вида
![$m=r\sqrt[4] s$ $m=r\sqrt[4] s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/a/c6a34a08816cc293fc54f603c503695b82.png)
,
![$n=p\sqrt[4] s$ $n=p\sqrt[4] s$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/b/ccbcc6f35db1fa547953297460063f2082.png)
приводит к тому, что

,

,

имеют общий делитель

, что не соответствует рассматриваемому варианту.
4. все прочие варианты с общим видом:

,

, где

, исключающие предыдущие варианты. Приводит к тому что

и

имеют иррациональность отличную от квадратного корня, что не соответствует требуемой иррациональности.
В результате получается, варианты 3 и 4 невозможны, а вариант 1 не опровергает утверждение варианта 2
Поэтому в уравнении:




где

,

,

- нечетные, натуральные числа.

- натуральное.
т.е.

и

являются квадратами натуральных чисел.